mir bereitet momentan eine Stochastikaufgabe einige Schwierigkeiten.
Die Aufgabenstellung beinhaltet neue Regeln für Fußballspiele. Demnach gewinne eine Mannschaft erst, wenn im Spiel insgesamt mindestens 3 Tore gefallen sind und sie dabei mindestens 2 Tore mehr als die andere Mannschaft hat. Nun sollen Überlegungen zu den Gewinnwahrscheinlichkeiten getroffen werden, wenn eine Mannschaft mit der Wahrscheinlichkeit p ein Tor schießt und die andere mit q.
Meine Überlegungen:
Betrachtet man n als die gesamte Anzahl der Tore im Spiel, r als die Anzahl der Tore von Mannschaft 1 und p dessen Wahrscheinlichkeit ein Tor zu schießen. Die Anzahl der Tore von Mannschaft 2 beträgt dann n-r mit einer Torwahrscheinlichkeit von q. Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Mannschaft 1 sei P und X eine binomialverteilte Zufallsgröße, die die Anzahl der Tore von Mannschaft 1 zähle.
Wegen der Spielregeln muss n ≥ 3 gelten. Außerdem ist bei n = 3 auch r = 3 (bei 3 Toren kann M1 nur mit 3:0 gewinnen) und bei n ≠ 3 muss r ja um zwei größer sein als n-r, also ist r = n-r+2 bzw. r = n/2 + 1.
Nun dachte ich mir zunächst, die Gewinnwahrscheinlichkeit ausrechnen zu können, wenn n bekannt ist (p und q werden vorher festgelegt). Dies wollte ich mit der Bernoulli-Formel lösen. Das Problem, auf das ich dabei jedoch gestoßen bin, ist, dass zu der Bernoulli-Kette mit n = 3 auch Ergebnisse wie "Tor, Tor, Gegentor" oder "Gegentor, Tor, Gegentor" etc. dazugehören. Diese Ergebnisse kann man allerdings von vornherein ausschließen, da bekannt ist, dass das Spiel nach drei Toren endete und ein solches Ergebnis deswegen gar nicht möglich ist. Zu betrachten wäre bei n = 3 lediglich "Tor, Tor, Tor" und "Gegentor, Gegentor, Gegentor", welches die einzigen Möglichkeiten sind, die zu einem Spielende nach 3 Toren führen. Die Wahrscheinlichkeit lassen sich dann aber für mich nicht leicht berechnen, da sie zusammen nur 0,52 und nicht 1 ergeben, wie es logischerweise der Fall sein sollte.
Ähnliches ist bei n = 4 der Fall. Da kommt jedoch noch das Problem hinzu, dass die Ergebnisse "Tor, Tor, Tor, Gegentor" sowie "Gegentor, Gegentor, Gegentor, Tor" nicht möglich sind, da das Spiel dabei bereits vorher beendet wäre.
Habt ihr irgendwelche Lösungsansätze für dieses Problem? Eventuell bin ich an die Aufgabe auch falsch herangegangen.
Maurice
