Partialbruchzerlegung den Grenzwert der Folge von Partialsummen. an= 2/(4n^2 + 8n + 3)

Question

Bestimmen Sie mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung den Grenzwert der Folge

an= 2/(4n^2 + 8n + 3) 

Answer 1

Die Partialbruchzerlegung ist 1/(2n+1)-1/(2n+3) Die Summe solcher Terme von n=0 bis N ist dann

1 - 1/3 + 1/3- 1/5 + 1/5 - 1/7 ..... -1/(2N+3)= 1 -1/(2N+3).

Answer 2

4n² + 8n + 3 = (2n+1)(2n+3)

ergibt 1/(2n+1) - 1/(2n+3) als Partialbruchzerlegung

Und die Summe sieht dann so aus

∑ (     1/(2n+1) - 1/(2n+3)   )    (sog. Teleskopsumme)

= ∑     1/(2n+1) -    ∑ 1/(2n+3)   )

und jeweils ein Summand in der ersten Summe ist gleich einem Summanden

in der zweiten, also bleibt nur

1/1  -  1/(2N+3)   als Ergebnis.