Ich würde gerne den Grenzwert folgender Reihe bestimmen:
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\left(4 n^{2}-1\right)^{5}} \)
Ansatz/Problem:
Meine erste Idee ist eine Partialbruchzerlegung. Die scheint äußerst aufwendig :)
Gibt es eventuell einen einfacheren Weg?
Brauchst du den Grenzwert explizit, oder reicht es dir, dass er existiert?
(4n^2 - 1)^5 = (2n -1)^5 * (2n+1)^5 | 3. Binom.
Ja, mir ging es konkret um den Grenzwert.
Wie hilft mir die 3. Binom. weiter?
Wenn du eine Partialbruchzerlegung machen möchtest vielleicht.
Stimmt, die einzelnen Terme im Nenner müssten (2n+1), (2n-1), (2n+1)^2, (2n-1)^2 usw. sein
Danke, ich habe es geschafft :)
Der Grenzwert ist
\( \left(5-\frac{\pi^{2}}{3}\right) \frac{\pi^{2}}{2^{12}} \)
Zur Kontrolle habe ich das noch bei WolframAlpha eingegeben und der Graphik etwa 0.004 entnommen, was gut zu deinem 0.004125... passt.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=series+%28n%5E2+%2F+%284n%5E2-1%29%5E5+%29+for+n%3D1+to+infinity
So genau scheint's WolframAlpha nicht zu schaffen. Aber du hast ja das exakte Resultat.
Einfach mal etwas anders eingeben:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csum+%28n%5E2+%2F+%284n%5E2-1%29%5E5+%29+
Bitte, habe aber gerade gemerkt klappt auch mit deinem Link. Kommt nur drauf an wie ausgelastet wolframalpha ist.
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