Grenzwert der unendlichen Reihe Σ ( n^2 / (4n^2-1)^5 )

Question

Ich würde gerne den Grenzwert folgender Reihe bestimmen:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\left(4 n^{2}-1\right)^{5}} \)

Ansatz/Problem:

Meine erste Idee ist eine Partialbruchzerlegung. Die scheint äußerst aufwendig :)

Gibt es eventuell einen einfacheren Weg?

Comments

Brauchst du den Grenzwert explizit, oder reicht es dir, dass er existiert?

(4n^2 - 1)^5 = (2n -1)^5 * (2n+1)^5    | 3. Binom.

---

Ja, mir ging es konkret um den Grenzwert.

Wie hilft mir die 3. Binom. weiter?

---

Wenn du eine Partialbruchzerlegung machen möchtest vielleicht.

---

Stimmt, die einzelnen Terme im Nenner müssten (2n+1), (2n-1), (2n+1)^2, (2n-1)^2 usw. sein

---

Danke, ich habe es geschafft :)

Der Grenzwert ist

\( \left(5-\frac{\pi^{2}}{3}\right) \frac{\pi^{2}}{2^{12}} \)

Answer 1

Zur Kontrolle habe ich das noch bei WolframAlpha eingegeben und der Graphik etwa 0.004 entnommen, was gut zu deinem 0.004125... passt.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=series+%28n%5E2+%2F+%284n%5E2-1%29%5E5+%29+for+n%3D1+to+infinity

So genau scheint's WolframAlpha nicht zu schaffen. Aber du hast ja das exakte Resultat.

Comments

Einfach mal etwas anders eingeben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csum+%28n%5E2+%2F+%284n%5E2-1%29%5E5+%29+

---

Bitte, habe aber gerade gemerkt klappt auch mit deinem Link. Kommt nur drauf an wie ausgelastet wolframalpha ist.