Zeigen, dass Funktion nicht stetig ist

Question

gegeben habe ich folgende Aufgabe.

Ich habe bereits gezeigt, dass f in (0,0) partiell differenzierbar ist.

$$ \lim_{h\to0}\frac { f(h,0)-f(0,0)}{ h }$$= $$ \lim_{h\to0}\frac { 1-1}{ h }$$=$$ \lim_{h\to0}\frac { 0}{ h }$$=$$0$$

 Aber wie zeige ich jetzt, dass f nicht stetig ist?

lg

Answer 1

In jeder ε-Umgebung von (0,0) liegen Punkte mit 2

irrationalen Koordinaten, etwa (√2 / n ; √2 / n  ) für hinreichend

großes n. z.B.  n >√2 /  ε  . Deren Funktionswert ist 0, also für   ε < 1 nicht in U_ε(0;0)

Comments

Also da sozusagen für  lim n->∞ (√2/n, √2/n)=(0,0) resultiert, folgt für ε<1, dass es nicht in Uε(0;0) ist. Damit ist also f nicht stetig.   

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noch genauer :

da sozusagen für  lim n->∞ (√2/n, √2/n)=0 ≠ f(0,0)=1  resultiert, folgt dass  f nicht stetig in (0;0) ist.  

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Ok vielen Dank nochmal dafür!