Offene Menge zeigen und skizzieren.

Question

Kann jemand vielleicht folgende Aufgabe erklärend vorrechnen? Ich habe mir schon Videos zu dem Thema angeschaut. Habe es jedoch immer noch nicht verstanden..

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Da musst du schon eure Definition von "offene Menge" angeben.

Answer 1

b) ~draw~ kreis(0|0 1);kreis(0|0 2);zoom(10) ~draw~

Die gesuchte Menge ist das Hellgrüne.

Die ist nicht offen, weil sie z.B. den Punkt (0;2) enthält, der

in jeder ε-Umgebung etwa den Punkt ( 0; 2+ε/2 ) enthält, der

nicht in C liegt.

c) graph(f) ist abgeschlossen, da   M =  ℝ² \ graph(f) offen ist.

Zeige einfach, dass es zu jedem Punkt aus M eine Umgebung gibt,

die ganz zu M gehört.

Ist nicht kompakt, da nicht beschränkt.

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Bei mir sieht die Defintion so aus. Wie sehe die Rechnung bei a) aus?

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Dann muss es also zu jedem x ∈ B₃(0) ein R>0 geben mit B_R(x) ⊂ B₃(0)

Sei also  x ∈ B₃(0)  ,  dann gilt  | x | < 3     #

Wähle R =  (   3 - |x|   )  /   2

dann gilt   B_R(x) ⊂ B₃(0) ; denn für alle  y ∈   B_R(x) gilt

==>  | y | =      | x  +  y  - x   |

und wegen Dreiecksungl. also

              ≤  | x |   + | y-x|

              =   | x |  +   R  also

         | y|    ≤   |x| +  ( 3 - |x| ) / 2 

      | y|    ≤   |x| / 2 +   3 / 2

          und wegen    #  also

  | y|    ≤   |x| / 2 +   3 / 2  < 3/2 + 3/2 = 3