Grenzwert von exp(-1/x) / x^3 für x gegen 0

Question

Ich soll den Grenzwert von exp(-1/x) / x³ für x gegen 0 berechnen.

Das ist ja ein Grenzwert vom Typ (0/0), was für die Anwendung von l´hospital spricht. Allerdings kommt man hier ja nicht weiter , weil man ja durch das Nachdifferenzieren von exp(-1/x) immer 1/x² hinzukriegt, also quasi wieder etwas ähnliches bekommt was man ausrechnen möchte.

Ich stehe gerade auf dem Schlauch. Wahrscheinlich ist das recht simpel, aber ich komme gerade nicht auf die Lösung. !

LG

Answer 1

setze 

$$ z=\frac { 1 }{ x } $$

und betrachte nun den links und rechtsseitigen Grenzwert , daher 

$$ \lim_{z\to+\infty}z^3e^{-z}= \lim_{z\to+\infty}\frac { z^3 }{ e^{z} } $$

sowie

$$ \lim_{z\to-\infty}z^3e^{-z} $$

Answer 2

Hi,

betrachte mal e^{-1/x} für sich selbst. Da siehst Du, dass es eine Fallunterscheidung von 0^{+} und 0^{-} braucht. Für den Nenner spielt letztlich noch das Vorzeichen eine Rolle. Weiter braucht man da nicht eingehen, da die e-Funktion "stärker" ist als jedes Polynom.

Für 0^{+} komme ich auf 0

Für 0^{-} komme ich auf -∞

Grüße

Comments

Hi Unknown :)

das die e-Funktion hier dominiert ist mir schon klar, aber wir müssen das schon richtig zeigen, dass der GW hier 0 ist für x gegen 0+.

Aber so in der Art dürfen wir das nicht begründen, dass die e-Funktion stärker wächst.  Also l´hospital geht hier nicht oder?

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Schreibe \(\frac{e^{-\frac1x}}{x^3} = \frac{x^{-3}}{e^{\frac1x}}\) und wende mehrfach l'Hospital an. bald wirds im Zähler konstant und damit ist die e-Funktion stärker. Du kommst auf die von mir genannten Werte ;).

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Der Sinn der Umschreibere drängt sich mir irgendwie nicht auf...

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Hat geklappt.

Wenn ich l´hospital auf exp(-1/x) / x³ anwenden würde, käme man nicht aufs Ergebnis oder?

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Kreiieren einer weiteren Bruchs, was das Kürzen erleichtert. Versuchs ;).

@Simon: Zumindest ich nicht, vielleicht sieht az0815 mehr als ich.