Winkel zwischen 2 quadratischen Funktionen

Question

Hi, ich soll diesmal den kleineren Winkel zwischen den folgenden Funktionen bestimmen. (Schnittpunktwinkel)

f(x) = 7x²-8
g(x) = 5x²+7

Um die beiden Schnittpunkte zu erhalten, habe ich beide Funktionen gleichgesetzt:

f(x) = g(x)

Folgende Schnittpunkte habe ich erhalten:

Schnittpunkt 1 an Stelle x: √(15/2)
Schnittpunkt 2 an Stelle x: -√(15/2)

Nun habe ich die Steigungen von f(x) und g(x) durch Ableitung ermittelt:

m1= 14x
m2 = 10x

Für x habe ich nun jeweils den Schnittpunkt eingesetzt und in die folgende Formel gesetzt:

Betrag von: tan(α) = (m1-m2) / (1+m1*m2)

Leider bin ich bei beiden Schnittpunkten auf den Winkel 44,97° gekommen. Aber die richtige Lösung soll angeblich 0,5972° betragen.
Der Winkel muss zwischen 0 und 90 Grad groß sein.

Habe ich einen Fehler gemacht oder den kleineren Winkel irgendwo übersehen?

Answer 1

Hallo Martin,

Wenn man sich die Funktionen aufzeichnet, sieht man, dass der Winkel sehr klein ist.

~plot~ 7*x^2-8;5*x^2+7;[[-40|40|-10|70]] ~plot~

.. und damit unmöglich \(44°\) betragen kann.

Anscheinend hast Du bei der Berechnung des Tangens etwas falsch gemacht. Es ist \(m_1=\pm 7\sqrt{30}\) und \(m_2=\pm 5 \sqrt{30}\) - bis hierhin hast Du alles richtig genmacht. Einsetzen ergibt:

$$\tan \alpha = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}= \frac{\pm 7\sqrt{30} -\pm 5 \sqrt{30}}{1 +(\pm 7\sqrt{30})(\pm 5 \sqrt{30})}=\frac{\pm2 \sqrt{30}}{1 + 35 \cdot 30} \\ \space  \approx \pm 0,010423 \quad \Rightarrow \alpha \approx \pm 0,5972 °$$

Gruß Werner

Answer 2

Ich habe die gleichen Schnittpunkte und Ableitungen wie du. 

$$\text{ für } x = -\sqrt{ \frac{ 15 }{ 2 } } \text{ ergeben sich folgende Steigungen: }$$

$$f'(-\sqrt{ \frac{ 15 }{ 2 } } )= -7\sqrt{ 30 }\text{  und  }g'(-\sqrt{ \frac{ 15 }{2  } }) = -5\sqrt{ 30 }$$

In die Formel eingesetzt ergibt das:

$$tan(\alpha) = \left( \frac{ -7\sqrt{ 30 }-(-5\sqrt{ 30 } }{ 1+(-7\sqrt{ 30 } )*(-5\sqrt{ 30 }} \right)$$

PS: Ich habe die Betragsstriche vergessen, denn der Winkel ist natürlich nur als positive Zahl definiert.

Answer 3

Ohne Formel

m1= 14x = 14 * √ (15/2) = 38.34  => 88.5 °
m2 = 10x =10 * √ (15/2) = 27.39  => 87.91 °

| 88.5 - 87.91 | = 0.591 °