Beweis zu dualer Basis und orthornormaler Basis

Question

Es geht um die Aufgabe 2) auf dem Bild. Ich denke , dass die Antwort (iii) ist , bin mir aber nicht ganz sicher warum, das so ist.

Des Weiteren bräuchte ich Hilfe wie ich dann die Äquivalenz beweisen kann.

Answer 1

Da X eine Basis ist, gilt für jedes a aus V, es gibt a1,...,an mit a = ∑ a_ix_i

also für alle j   < a, xj > =  < ∑ a_ix_i , xj >

=  (wegen der Linearität des Skalarproduktes im 1. Argument)   ∑ a_i <x_{i ,}x_j >

Andererseits  x*_j (a) = x*_j (∑ a_ix_i ) = (wegen Linearität der Linearformen)

=  ∑ a_i * x*_j ( x_i ) .
Und das stimmt nur überein , wenn X orthonormal ist.