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Die Gesamtkosten zur Herstellung von x Einheiten eines Gutes seien


C(x) = ax2 + bx + c (x > 0)


wobei a, b, c positive Konstanten sind. Zeigen Sie, dass die Stückkostenfunktion


 A(x) = C(x)/ x


ein globales Minimum besitzt, und bestimmen Sie dessen Lage und Wert. 

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Hallo Schueler,

A(x)  =   (a·x2 + b·x + c) / x

              Quotientenregel : [ u/v ] '  = [ u ' * v - u * v ' ] / v2

A'(x)  = [ (2ax+b) * x -  (ax2 + b·x + c) * 1 ] / x2

          =  (a·x2 - c) / x2  =  0    ⇔x>0    x =  √c/√a

A"(x)  =  [ (2ax * x2 -  (a·x2 - c) * 2x ] / x4

          =  2·c / x3    →    A"( √c/√a)  =  2·a3/2 / √c  > 0    →   Minimalstelle

A(√c/√a)  =  2·√a·√c + b

Lage des Minimums:     x =  √c/√a

Wert  des Minimums:      2·√a·√c + b    

Gruß Wolfgang

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