Question

Die Gesamtkosten zur Herstellung von x Einheiten eines Gutes seien 

C(x) = ax² + bx + c (x > 0) 

wobei a, b, c positive Konstanten sind. Zeigen Sie, dass die Stückkostenfunktion

 A(x) = C(x)/ x 

ein globales Minimum besitzt, und bestimmen Sie dessen Lage und Wert. 

Answer 1

Hallo Schueler,

A(x)  =   (a·x² + b·x + c) / x

              Quotientenregel : [ u/v ] '  = [ u ' * v - u * v ' ] / v²

A'(x)  = [ (2ax+b) * x -  (ax² + b·x + c) * 1 ] / x²

          =  (a·x² - c) / x²  =  0    ⇔_x>0    x =  √c/√a

A"(x)  =  [ (2ax * x² -  (a·x² - c) * 2x ] / x⁴  

          =  2·c / x³    →    A"( √c/√a)  =  2·a^3/2 / √c  > 0    →   Minimalstelle

A(√c/√a)  =  2·√a·√c + b    

Lage des Minimums:     x =  √c/√a

Wert  des Minimums:      2·√a·√c + b    

Gruß Wolfgang