Gleichungssystem mit Wurzeln lösen: √t - √r = 3 und √t + √r = 7

Question

Mathe-Trainer: Potenzgesetze

$$ \sqrt{t} - \sqrt{r} = 3 $$

$$ \sqrt{t} + \sqrt{r} = 7 $$

t + r = ?

Comments

Übrigens: Sollte einmal r -t verlangt sein, kannst du direkt die 3. binomische Formel verwenden.

Answer 1

sqrt(t) + sqrt(r) = 7
sqrt(t) - sqrt(r) = 3  | addieren
-----------------------
2 * sqrt(t) = 10
t = 25

In 1.) oder 2.) einsetzen dann hast du auch r .

Comments

Alternative zu "In 1.) oder 2.) einsetzen dann hast du auch r ."

sqrt(t) + sqrt(r) = 7 
sqrt(t) - sqrt(r) = 3  | subtrahieren
----------------------- 
2 * sqrt(r) = 4

√(r) = 2

r = 4

Dann r+t = 29

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Noch einfacher ist es, beides zu tun. Dies ergibt

(1) sqrt(t) = (7+3)/2 = 5 und

(2) sqrt(r) = (7-3)/2 = 2 und schließlich

(3) t + r = 5^2 + 2^2 = 29.

(Die beiden Zeilen (1) und (2) lassen sich auch unmittelbar hinschreiben, denn: Summe und Differenz zweier Zahlen sind bekannt, die beiden Zahlen selbst sind dann jeweils die halbe Summe bzw. Differenz der beiden bekannten Zahlen.)

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So wollte ich meine Alternative verstanden haben. Danke für die Ergnzung

Answer 2

Hallo

eine Möglichkeit:

√(t)+√(r)= 7

√(t)= 7 -√(r)

eingesetzt in die 2.Gleichung

7 -√(r)-√(r) =3

7 -2√(r) =3 |-7

 -2√(r) =-4 |:(-2)

√(r)= 2

r=4

----------->

√(t)= 7 -√(r)

√(t)= 7 -√4

√(t)= 5

t=25

------>

r+t= 29

Answer 3

Hallo IJ,

  Addieren der Gleichungen ergibt

2*√t = 10    →    √t = 5    →    t = 25

Einsetzen in 1:    5 + √r = 7    →    √r = 2    →    r = 4 

t+r = 29

-----------

Du kannst t+r auch "direkt" bestimmen:

Beide Gleichungen quadrieren:

t + 2 * √t * √r + r = 49

t - 2 * √t * √r + r = 9

Gleichungen addieren:    (hebt sich auf)

2t + 2r = 58  | : 2

t+r = 29

Gruß Wolfgang

Answer 4

Beide Seitem quadrieren und Gleichungen subtrahieren:

t+2√(t*r)+r=49

t-2√(t*r)+r=9

---------------------

4√(t*r)=40

t*r=100

t=100/r

für r=4 --> t=25

Comments

Da t+r gesucht ist, wird es beim Addieren der quadrierten Gleichung einfacher.

Answer 5

Gleichung1 minus Gleichung 2 liefert:

-2 √r =-4  |:(-2)

√r= 2

r=4

----------------------

in die 1. Gleichung eingesetzt:

√t - √4 =3

√t - 2 =3

√t  =5

t=25

---------->

t + r=29

-------->