Beweisen Sie, dass die "goldene Zahl" eine irrationale Zahl ist.

Question

Beweisen Sie, dass die sogenannte "goldene Zahl" 

eine irrationale Zahl ist.

Answer 1

So ein Mathelehrer kann das sicher besser und eleganter, aber ich versuche es mal:

Die goldene Zahl ist irrational, wenn √5 irrational ist.

Man könnte allgemein beweisen, ob die Quadratwurzel von n = m² (mit m ∉ ℕ) irrational ist.

Wenn √n rational ist, dann existieren zwei natürliche Zahlen p, q ohne gemeinsamen Faktor ∈ ℕ (ohne 1), für die gilt √n = p / q bzw. n = p² / q². Da n ∈ ℕ⁺ und p und q keinen gemeinsamen ganzzahligen Faktor außer 1 haben, muss gelten q=1. Das bedeutet n=p² und das ist ein Widerspruch zu n = m² (mit m ∉ ℕ).