Zeigen Sie, dass die Lösung x = √3 der Gleichung x² − 3 = 0 eine irrationale Zahl ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Lösung x = √3 der Gleichung  x² − 3 = 0 eine irrationale Zahl ist.

Problem:

Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Seien p, q ∈ ℤ teilerfremd mit (p/q)² = 3.

Dann ist

(1)        p² = 3q²

also ist p durch 3 teilbar.

Sei r∈ℤ mit p = 3r. Einsetzen in (1) ergibt (3r)² = 3q² und somit

(2)        q² = 3r² .

Also ist auch q durch 3 teilbar.

Das ist ein Widerspruch zu der Forderung, das p und q teilerfremd sind.

Comments

Vielen Dank!