Extremwerte und kritische Punkte

Question

Ich komme mit den 2 Variablen in dieser Funktion nicht klar. Kann mir jemand zeigen wie die Aufgabe geht? 

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siehe  https://www.mathelounge.de/457080/mehrdimensionale-nullstellen-nulls…

Answer 1

Ableitung nach x:

i) 3x²+6y²-12=0

bzw. x²+2y²-4=0

Ableitung nach y:

ii) -6y²+12xy=0

bzw. y(2x-y)=0

Lösungen:

aus Gleichung ii) folgt einmal y=0,

in Gleichung i) eingesetzt ergibt sich dann

x²-4=0 --> x=±2

Also die sind (x,y)=(±2,0) kritische Stellen

aus Gleichung ii) folgt ebenfalls y=2x, erneut in Gleichung i) einsetzen:

x²+2(2x)²-4=0

9x²=4

x²=4/9

x=±2/3 -> y=±4/3

also zwei eweitere kritische Punkte bei (x,y)=(±2/3,±4/3)