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kann mir vielleicht jemand erklären wie ich die Konvergenz folgender Reihe ausrechne? Ich vermute dass es mit Leibniz geht da man den Nenner zu (-1)^n * n^n umformen kann


$$ \sum_{n=1}^{\infty}{\frac { (n+1)^{n-1} }{ (-n)^n }} $$

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ja dazu nimmt man das Leibnitz-Kriterium.

Zu untersuchen ist also die Folge

$$ { a }_{ n }=\frac { (n+1)^{n-1} }{ n^n }=(1+\frac { 1 }{ n })^n\frac { 1 }{ n+1 }$$

auf Monotonie und Konvergenz gegen 0.

Aus der letzten Darstellung von an folgt unmittelbar die Konvergenz gegen 0,

da der erste Faktor gegen e strebt und der zweite Faktor gegen 0.

Für die Monotonie betrachtet man

$$ { a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=\frac { (n+2)^{n} }{ (n+1)^{n+1} }-\frac { (n+1)^{n-1} }{ n^n }\\=(n+1)^{-n-1}[(n+2)^n-((n+1)^{2n})/n^n]=(n+1)^{-n-1}[(n+2)^n-(((n+1)^{2})/n)^n]<0\\\text{da aus}\\n+2 < n+2+\frac { 1 }{ n }=\frac { (n+1)^2 }{ n }\\(n+2)^n < (\frac { (n+1)^2 }{ n })^n\\(n+2)^n-(\frac { (n+1)^2 }{ n })^n<0\\\text{folgt}$$

Die Folge ist somit monoton fallend für alle n∈ℕ.

Somit konvergiert die Reihe.

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Wie kriegt man denn die (-1)^n aus dem Nenner?

Beim Leibnitz-Kriterium untersucht man nur den Rest ohne (-1)^n,

siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

Aber um das Leibniz Kriterium überhaupt anwenden zu können muss es doch erstmal die Form (-1)^n*bn haben. Und hier ist (-1)^n ja noch im Nenner

Und stört das ?

Es ist

$$ \frac { 1 }{ (-1)^n }=(-1)^n $$

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