ja dazu nimmt man das Leibnitz-Kriterium.
Zu untersuchen ist also die Folge
$$ { a }_{ n }=\frac { (n+1)^{n-1} }{ n^n }=(1+\frac { 1 }{ n })^n\frac { 1 }{ n+1 }$$
auf Monotonie und Konvergenz gegen 0.
Aus der letzten Darstellung von an folgt unmittelbar die Konvergenz gegen 0,
da der erste Faktor gegen e strebt und der zweite Faktor gegen 0.
Für die Monotonie betrachtet man
$$ { a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }=\frac { (n+2)^{n} }{ (n+1)^{n+1} }-\frac { (n+1)^{n-1} }{ n^n }\\=(n+1)^{-n-1}[(n+2)^n-((n+1)^{2n})/n^n]=(n+1)^{-n-1}[(n+2)^n-(((n+1)^{2})/n)^n]<0\\\text{da aus}\\n+2 < n+2+\frac { 1 }{ n }=\frac { (n+1)^2 }{ n }\\(n+2)^n < (\frac { (n+1)^2 }{ n })^n\\(n+2)^n-(\frac { (n+1)^2 }{ n })^n<0\\\text{folgt}$$
Die Folge ist somit monoton fallend für alle n∈ℕ.
Somit konvergiert die Reihe.
