Konvergenz von Reihen Leibnitz,-/Majoratenkriterium

Question

Aufgabe: Untersuche auf konergenz / divergenz

von 1.) $$\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{cos(k)(k^2+1)}{3^k}$$ und 2.) $$\sum \limits_{k=0}^{\infty}((\frac{1}{5})^k-\frac{2}{7^k})$$

Problem/Ansatz: Ich weiß nicht weiter, zur ersten weiß ich das ich das Leibnitzkriterium verwenden muss beim zweiten Majoranten.

Bei der ersten Reihe habe ich als Ansatz

$$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\rightarrow$$ $$\frac{((k+1)^2+1)*3^k}{(3^{k+1})(k^2+1)}$$ um monotonie zu beweisen ebenfalls weiß ich das ich \( \lim\limits_{k\to\infty} (k^2+1)/(3^k)\) als Nullfolge beweisen muss

damit die erste Reihe als konvergent gilt.

Bei der zweiten weiß ich das ich ein b_n finden muss was größer als die Reihe ist und von der dann limes berechnen $$\sum \limits_{k=0}^{\infty}((\frac{1}{5})^k-\frac{2}{7^k})\leq \sum \limits_{k=0}^{\infty}((\frac{1}{5})^k-\frac{2}{7^1})$$ also $$\lim\limits_{k\to\infty}\sum \limits_{k=0}^{\infty}((\frac{1}{5})^k-\frac{2}{7^k})$$ berechnen

Answer 1

Für die erste Reihe brauchst du Leibniz nicht. Verwende statt dessen \(\vert\cos k\vert\le1\).
Die zweite Reihe ist die Differenz zweier bekanntermaßen konvergenter Reihen.

Comments

Das hilft mir leider nicht weiter trotzdem danke für die Antwort

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Bekanntlich gilt \(k^2+1<2^k\) für alle \(k>4\) und damit$$\left\vert\frac{(k^2+1)\cos k}{3^k}\right\vert<\left(\frac23\right)^k,$$womit eine konvergente Majorante gefunden ist.

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Das habe ich verstanden danke dir. Hast du eine ahnung ob mein Ansatz zur zweiten Reihe überhaupt richtig ist und wenn ja wie ich damit weiter rechnen sollte?

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Deine Abschätzung der zweiten Reihe ist leider nicht richtig. Stelle besser die Reihe als Differenz aus zwei konvergenten geometrischen Reihen dar. Bekanntlich ist die dann ebenfalls konvergent.

Answer 2

b) kannst du in eine Differenz von zwei geometrischen Reihen verwandeln, die beide konvergieren.

Berechne die Reihen separat und subtrahiere die Resultate voneinander.

Comments

Ich weiß nicht genau wie ich das angehen soll,bzw. wie/welche reihen ich finden muss.

Vielleicht diese hier ? sonst habe ich keine weiteren Ansätze.

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{5})^k  $$ und $$\sum \limits_{n=0}^{\infty}-\frac{2}{7^k}$$

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Achtung: Unter die Summenzeichen gehört ein k und kein n.

a) … = 1/(1 - 1/5)

b) = -2* ∑(1/7)^k = (-2) * 1/(1 - 1/7))

Total:

Grenzwert = 1/(1- 1/5) - 2/(1 - 1/7) = Bruchrechnen = -13/12

(ohne Gewähr)