Integral berechnen um Volumen des Einheitsballes zu bestimmen

Question

Aufgabe \( 40 . \) Berechnen Sie das folgende Integral, um das Volumen des Einheitsballes in \( \mathbb{R}^{3} \) zu bestimmen: $$ \int \limits_{-1}^{1}\left(\int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} 2 \cdot \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\;\mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y $$ Hinweis, der zu beweisen ist: \( \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \;\mathrm{d} x=\frac{1}{2}\left(x \sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2} \cdot \arcsin \left(\frac{x}{a}\right)\right) \) für \( |x| \leq a \).

Kann mir hier bitte jemand helfen?

Answer 1

Hi,
mit dem Tipp folgt für das innere Integral
$$ \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \sqrt{1-x^2-y^2} dx = \frac{1}{2} \left[ x \sqrt{1-y^2 -x^2} + (1-y^2) \arcsin\left( \frac{x}{\sqrt{1-y^2}} \right) \right]_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} = \\\frac{1}{2} \left[ (1-y^2) \arcsin(1) - (1-y^2) \arcsin(-1) \right] = \frac{\pi}{2}(1-y^2)   $$
Jetzt muss noch der Rest integriert werden, also $$ 2 \int_{-1}^1 \frac{\pi}{2}(1-y^2) dy = \frac{4}{3} \pi $$