Parabel 4.ordnung aufstellen mit drei Punkten

Question

Hallo alle zusammen,

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Ich soll einen das Volumen eines Rotationkörpers berechnen.

Mit folgenden Angaben:

Der Grundlagabe für den Rotationkörper ist eine symmetrische Parabel 4.Ordnung. Die mit folgenden Punkten gegeben ist.

Symmetrie ist die y-Achse und f(0)=-300 weiterhin habe ich noch die Punkte f(25)=-296 und aus der Symmetrie f(-25)=-296.

Ich verzweifle an der Aufstellung der Gleichung für die Parabel. Da ich keine weiteren Angaben habe. Ach ja der rotationkörper Soll in dem interval -25 bis 25 berechnet werden.

Bitte um denk Anstöße und Hilfe.

Comments

wenn eine Parabel 4. Ordnung symmetrisch zur y-Achse ist, fallen die x mit ungeraden Exponenten weg, so dass die allgemeine Form

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

ist. Dann hast du auch noch drei Unbekannte.

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Aus der Symmetrie folgt der Ansatz
$$f(x) = ax^4 + bx^2 + c.$$Nutzbare Bedingungen sind dann noch
$$f(0)=-300 \text{ und } f(25)=-296.$$Andere, wie \(f(-25)=-296\) oder \(f'(0)=0\), werden schon durch die Symmterie abgedeckt.

Damit ist das LGS unterbestimmt und es ergibt sich eine Kurvenschar, oder es fehlt noch irgendeine Bedingung.

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Ich glaube nicht, dass es unterbestimmt ist, siehe Antwort weiter unten.

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Welche zusätzliche Bedingung, die ggf. die Eindeutigkeit liefert, entnimmst du denn der Aufgabenstellung?

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Vielleicht ist umgekehrt die selbstgedichtete Bedingung, die in der Aufgabenstellung gar nicht vorkommt, einfach weggelassen worden.

Answer 1

Du hast nicht nur drei Punkte, sondern auch Information über die Steigung bei x=0 sowie über das Verhältnis der Steigungen bei x = ± 25. Und darüber, dass die Parabel ordinatensymmetrisch ist.

Comments

Das mit dem Verhältnis der Steigung in +-25 verstehe ich nicht ganz. 

Das die Steigung bei x=0 gleich 0, da dies eine extrmestelle ist, habe ich schon, nur beim Versuch a und b auszurechnen, fallen beide Variablen in der ersten Ableitung weg in x=0.

Meine Rechnung war bis jetzt diese:

ax^4+bx^2+c

f(0)=-300 => c=-300

f(+-25)=-296 => 25^4a+25^2-300=-296 => 25^2a+b=4/25^2

f'(x)=4ax^3+2bx (aber da fallen beide Variablen raus in x=0)

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Also ich bekomme

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Fehlt mir nicht bei der ersten Ableitung für x=25 ein funktionswert, sicher weiß ich welche Steigung in x=25 ist?

Das mit dem unterbestimmt habe ich auch gedacht, da müsste wenigstens noch eine nullstelle, Wendepunkt oder sonst eine Bedingung gegeben sein.

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Was spricht dagegen, diese zwei Gleichungen zu lösen?

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Weiß ich nicht, dann wäre ja

f'(25)=4*a*25^3+2*b*25

Ahhh ok...

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@mrvmk:

Du liegst richtig mit Deiner Vermutung, dass die Aufgabe unterbestimmt ist, wie auch von az0815 bestätigt.

@döschwo: Dass f'(25) = f'(-25) gilt, ergibt sich aus der Symmetrie. Das ist kein Mehrwert an Information. Du magst damit auf ein Ergebnis kommen, aber das ist eines von unendlich vielen.

@mrvmk: Hast Du eventuell ein Bild der Aufgabe? Möglicherweise ist eine Information versteckt, die Du vergessen hast zu erwähnen.

Grüße

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Stimmt das

a=-4/25^4 , b=8/25^2 , c=-300

f(x)=-4/25^4*x^4+8/25^2*x^2-300

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Ich habe nur das als Aufgabenstellung...

 

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Ist das das richtige Blatt? Abgesehen von "Sym. Parabel" und "Volumen des Rotationskörpers" sehe ich da kaum einen Zusammenhang zur obigen Aufgabe?^^

Dein Ergebnis von oben kann ich bestätigen. Eine mögliche Lösung.

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Der Zusammenhang ist, das die Gleichung der Parabel herausgefunden werden soll und diese dann um die x-Achse rotieren zulassen, dann anschliessend die Konstante in der Mitte um die Achse rotieren zu lassen, die beide Volumen voneinander abziehen und das Volumen ist berechnet.

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Sorry, 

Die Parabel ist einen sym. 4.Ordnung

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Vielen Dank für die Antworten, es hat funktioniert.