Varianz auf zwei Arten rechnen

Question

Wir sollen durch eine einfach Umformung zeigen, dass sich die Varianz auf zwei Wege berechnen soll, aber leider komme ich nicht darauf. Es geht dabei um die pixelweise Berechnung eines 2D Bildes im Kurs Bildverarbeitung. 

dabei soll das: $$\frac { 1 }{ M*N } \sum _{ m=0 }^{ M-1 } \sum _{ n=0 }^{ N-1 } (f(m,n)-m_{ f })^{ 2 } $$

mit dem Mittelwert $$m_{f} = \frac{1}{M*N} \sum\limits_{m=0}^{M-1}\sum\limits_{n=0}^{N-1}f(m,n)$$

...das gleich sein wie: $$\frac{1}{M*N} \sum\limits_{m=0}^{M-1}\sum\limits_{n=0}^{N-1}f(m,n)^2-m_{f}^{2} $$

Comments

$$  (f(m,n)-m_{ f })^{ 2 } $$
$$  (f(m,n))^{ 2 } -   2   \cdot f(m,n)\cdot m_{ f }   +(m_{ f })^{ 2 } $$

Sieht auf den ersten Blick nicht so aus, als wäre das gleich

$$  f(m,n)^2-m_{ f }^{ 2 } $$

Vielleicht ist im Original was bei den Summen irgendwas anders?

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Kann es sein, dass die Summe der linearen Abweichungen von m_(f) Null ist?

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Führt das auch zum Vorzeichenwechsel von m_f  ^2  ???

"durch eine einfach Umformung zeigen"

ich sehe das einfach nicht ...

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Führt das auch zum Vorzeichenwechsel von m_f  ²  ???

Na hoffentlich nicht.

Answer 1

Hi
$$  \frac{1}{MN} \sum_{n,m} ( f_{m,n} - m_f)^2 = \frac{1}{MN} \sum_{n,m} ( f_{m,n}^2-2 f_{m,n}m_f+m_f^2) = \\ \frac{1}{MN}\sum_{n,m} f_{m,n}^2 - \frac{2 m_f}{MN}MN m_f+m_f^2 =\frac{1}{MN} \sum_{n,m} f_{m,n}^2-m_f^2 $$

Answer 2

Die zwei Summenzeichen stören etwas, daher würd ich zunächst substituieren. Sei

$$ x_i \text{ der $i$-te Summand von } \sum_{m=0}^{M-1}{\sum_{n=0}^{N-1}}{f(m,n)} \\ \bar{x} = \frac{1}{MN}\sum_{i=1}^{MN}{x_i} = m_f $$

Dann gilt mit dem Steinerschen Verschiebungssatz:

$$\frac{1}{MN} \sum_{m=0}^{M-1}{\sum_{n=0}^{N-1}}{(f(m,n) - m_f)^2} \\ = \frac{1}{MN}\sum_{i=1}^{MN}{(x_i - \bar{x})^2} \\ \stackrel{Steiner}{=} \frac{1}{MN}\sum_{i=1}^{MN}{x_i^2 - \bar{x}^2} \\ = \frac{1}{MN} \sum_{m=0}^{M-1}{\sum_{n=0}^{N-1}}{f(m,n)^2 - m_f^2}  $$

Ich denke, dass das die "einfache Umformung" sein wird. Solltet ihr den Verschiebungssatz hier nicht einfach benutzen dürfen, lässt sich der aber relativ einfach beweisen.