Zentraler Grenzwertsatz 1000-mal würfeln

Question

Ein fairer Würfel wird 1000 mal geworfen. Ich soll nun mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Summe aller Augenzahlen größer als 3500 ist.

Den zentralen Grenzwertsatz haben wir definiert als:  
Nach Aufgabenstellung weiß ich: n= 1000 p= 1/6 a= 3500 b=∞
Daraus folgt also: 
Ist das bis hierhin korrekt? Wie muss ich jetzt fortfahren? 
LG

Comments

Ist die Wahrscheinlichkeit eine Augensumme über 3500 zu erzielen nicht genau so hoch wie die Wahrscheinlichkeit eine Augensumme unter 3500 zu erzielen?

Dann bräuchtest du nur noch die Wahrscheinlichkeit eine Augensumme von genau 3500 zu erzielen.

Da sollte gefühlt etwas in der Nähe von etwas unter 50% rauskommen.

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Kann mit deinem Tipp grade noch nicht so viel anfangen.

Was bringt es mir denn für den Grenzwertsatz zu wissen wie hoch die Gegenwahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeit für genau 3500 ist?

Grüße

Answer 1

Das ist der zentrale Grenzwertsatz für den Spezialfall der Binomialverteilung, der ist hier aber nicht gegeben. Die einzelnen Würfe sind diskret Gleich-verteilt.

$$E(\sum_{i=1}^{1000}{X_i}) = 1000 \cdot E(X_1) = 3500 $$

Dann ist $$ Z := \frac{ \sum_{i=1}^{1000}{X_i} - 3500}{ \sqrt{Var(\sum_{i=1}^{1000}{X_i}})} $$

approximativ Standardnormal-verteilt. Für die Summe war gefordert:

$$ P(\sum_{i=1}^{1000}{X_i} > 3500) = P(Z > 0)  $$

Und da die Standardnormalverteilung symmetrisch um 0 ist, folgt

$$P(Z > 0) \stackrel{n \rightarrow \infty}{=} 0.5$$

Comments

Jetzt weiß ich was ich da falsch gemacht habe :)

Kannst du mir aber vielleicht nochmal erklären wieso das gilt?

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Du führst Äquivalenzumformungen auf beiden Seiten der Ungleichung durch. Erst wird 3500 subtrahiert und dann durch die Wurzel der Varianz geteilt – so erhältst du auf der rechten Seite die 0.