In jedem angeordneten Körper gilt die Aussage: ∏(1+a_k) ≥ 1 + ∑a_k

Question

Hallöchen.

Ich soll zeigen, dass in jedem angeordneten Körper die folgende Aussage gilt:

Für jedes n≥1 und alle a₁, ... ,a_n ≥0 ist

$$\prod _ { k = 1 } ^ { n } ( 1 + a _ { k } ) \geq 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k }$$

Ich dachte, dass man das vielleicht mit einer vollständigen Induktion machen muss. Wenn man dann erweitert, also auf n+1, komme ich aber nicht weiter, weil ja nur auf dem ∏ bzw. ∑ ein n ist.

Kann mir da vielleicht jemand helfen? Oder muss man das gar nicht mit Induktion machen?

Danke

Answer 1

Ein paar Überlegungen vorweg:

Für a(n)=0 (für alle n aus IN) gilt immer Gleichheit, da 1^n=1 für alle n.

Ansonsten für n=1 ebenfalls Gleichheit (sollte offensichtlich sein).

Ein möglicher Induktionsschritt sieht folgendermaßen aus:

Und damit wäre die Behauptung bewiesen.

Comments

danke schon mal, aber muss nicht eigentlich am Ende das gleiche stehen, wie bei der behauptung?? Und irgendwie kann ich auch gerade nicht nachvollziehen, wieso am ende zwei Summenzeichen sind.