Wir betrachten dir Funktion $$f(x)=\ln x-x+1, \ x>0$$ Wir untersuchen die Funktion nach der Monotonie. Dazu brauchen wir die erste Ableitung: $$f'(x)=\frac{1}{x}-1$$ Die Nullstelle ist x = 1. Wir müssen dann das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen (0,1) und (1,+∞) bestimmen.
Wir haben folgendes $$0<x<1 \Rightarrow \frac{1}{x}>1 \Rightarrow \frac{1}{x}-1>0 \Rightarrow f'(x)>0 \\ x>1 \Rightarrow \frac{1}{x}<1 \Rightarrow \frac{1}{x}-1<0 \Rightarrow f'(x)<0 $$
Im Intervall (0,1) ist die Funktion streng monoton steigend. Wir haben also folgendes: $$x<1 \Rightarrow f(x)<f(1) \Rightarrow \ln x-x+1<\ln 1-1+1 \\ \Rightarrow \ln x-x+1<0 \Rightarrow \ln x<x-1$$
Im Intervall (1,+∞) ist die Funktion streng monoton fallend. Wir haben also folgendes: $$x>1 \Rightarrow f(x)<f(1) \Rightarrow \ln x-x+1<\ln 1-1+1 \\ \Rightarrow \ln x-x+1<0 \Rightarrow \ln x<x-1$$
