Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades vom Graphen ablesen

Question

ich komme bei einer Aufgabe überhaupt nicht zurecht.

Unten sehen Sie die Graphen ganzrationaler Funktionen dritten Grades. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, indem Sie dem Graph genügend geeignete Eigenschaften entnehmen.

Ich sehe die Nullstelle bei x=O und x= 3 sowie einen Hochpunkt bei (1/4).

Die Lösung im Buch hilft mir leider nicht:

4 a) Graph durch (0|0):
(1) \( \quad f(0)=0 \)
Hochpunkt bei ( 1|4) :
(2) \( f^{\prime}(1)=0 \)
und (3) \( f(1)=4 \)
Tiefpunkt bei ( 3|0):
(4) \( f^{\prime}(3)=0 \)
Das zugehörige LGS liefert die Funktionsgleichung \( f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x \)
 

Kann mir jemand einen ausführlicheren Rechenweg zeigen? Das würde mir auch beim Verstehen sehr helfen.

Answer 1

Schau mal, wenn du Funktionen dritten Grades hast, brauchst du vier Gleichungen.

Nun wie kommt man beispielsweise auf die 1?

Die Funktion geht durch den Ursprung, das heißt f(0)=0.

Sie hat einen Hochpunkt bei (1,4). Damit dort ein  Hochpunkt ist, muss die erste Ableitung an der Stelle x=1 0 sein.

Nun muss aber f(1)=4 sein, weil der y-Wer vom Hochpunkt 4 ist.

Und dann das gleiche Spiel bei Tiefpunkt. Bei der ersten Ableitung für f'(3)=0 und jetzt müsste man wie beim Hochpunkt die Gleichung f(3)=0 hinzufügen, aber es genügen die drei Gleichungen, um auf die Funktion zu kommen.

Und jetzt fängt du allgemein so an:

f(x) =ax^3 +bx^2 +cx + d

Und dann die Ableitung bestimmen und ein LGS lösen, bekommst du ganz einfach hin. Meld dich bei weiteren Fragen:)

Comments

Danke für deine Antwort.

Danke, dass heißt also

(I) d=0

(II) a+b+c+d=4

(III) 3a+2b+c=0

(IV) 27a+6b+c=0

Das habe ich soweit verstanden. Ich weiß jetzt nur nicht, wie ich a, b und c kommen soll, das ist schon so lange her. Ich würde (IV) und (III) subtrahieren, sodass c wegfällt. Wäre das ein richtiger Schritt? Und dann würde ich vielleicht noch (III) 9 malnehmen?

Kannnst du mir weiterhelfen?

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Hallo Shauna,

wenn du IV von III subtrahierst, erhältst du

(V) -24a - 4b = 0

Du kannst dann III von II subtrahieren und bekommst

(VI) -2a - b = 4

               -b = 4 + 2a

                 b = -4 - 2a

in V einsetzen ergibt

-24a - 4(-4 - 2a) = 0

-24a + 16 + 8a = 0

-16a = -16

a = 1

Für a setzt du eins in  VI ein und erhältst b = -6

1 und -6 setzt du in II ein und bekommst dann c = 9

Gruß

Silvia

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Du würdest die Gleichungen

I d=0

|| a+b+c+d=4

||| 3a+2b+c=0

|V 27a+6b+c=0

|| a+b+c= 4 (weil jetzt benutzt du Gleichung |) (*-1 und in ||| und IV)

||| 3a+2b+c=0

|V 27a+6b+c=0

|| a+b+c =4

||| 2a+b=-4 (*-5 und in |V addieren)

|V 26a+5b=-4

|| a+b+c =4

||| 2a+b=-4

|V 16a=16=> a=1

Dann a in III einsetzen ergibt b=-6 dann a und b in II einsetzen, ergibt c= 9

Hoffe, dass ich mich jetzt nirgends vertan hab. Meld dich ruhig bei Rückfragen:)

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@Like

> ... aber es genügen die drei Gleichungen, um auf die Funktion zu kommen.

Du meinst natürlich vier Gleichungen.

Aber trotzdem muss man die 5. Bedingung  f(3)=0 überprüfen, denn die Funktion ist überbestimmt. 

Wenn f(3) = 0 nicht erfüllt wäre, gäbe es keine Funktion mit den genannten Eigenschaften.

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Vielen Dank für die Antworten.

Ich versuche die nächsten zwei Aufgaben alleine, sonst melde ich mich nochmal.

Answer 2

Hi,

Du sollst nichts anderes tun, als vier Gleichungen aufzustellen (da wir eine Funktion 3ten Grades haben).

Diese lautet ja allgemein f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Im Lösungsbuch wurde genommen:

f(0) = 0    (geht durch Ursprung)

f'(1) = 0   (Bedingung für Extrempunkt)

f(1) = 4   (Das ist der HochPUNKT)

f'(3) = 0   (Bedingung für Extrempunkt)

Damit kann man nun aufstellen:

d = 0

3a + 2b + c = 0

a + b + c + d = 4

27a + 6b + c = 0

Dabei wurde für die Ableitung der Ansatz f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c benutzt. Dann einsetzen und lösen.

Es kommt die Musterlösung raus.

Grüße

Comments

Wegen Tiefpunkt (3|0)  muss man dann noch prüfen, ob für die erhaltene (überbestimmte) Funktion f(3) = 0 gilt, was der Fall ist.

Andernfalls gäbe es keine Funktion 3. Grades mit den genannten Eigenschaften.

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Nunja, und dann noch W(2|2), sowie die Überprüfung, ob es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt. Eventuell noch P(0.5|3) oder so und etc.

Es reicht aus vier Bedingungen zu wählen. Dann ist eine Funktion dritten Grades bereits eindeutig bestimmt ;)

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>Es reicht aus vier Bedingungen zu wählen. Dann ist eine Funktion dritten Grades bereits eindeutig bestimmt ;) 

Wenn - wie hier - in der Aufgabenstellung ausdrücklich eine 5. Bedingung genannt ist, genügt das  eben nicht!

Denn diese könnte die Existenz einer solchen Funktion ganz schlicht und einfach ausschließen!

> und dann noch W(2|2), sowie die Überprüfung, ob es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt. Eventuell noch P(0.5|3) oder so und etc.

All das, was du da erwähnst, ist nicht als Bedingung vorgegeben und ist deshalb mit der Bedingung "Tiefpunkt (3|0)" [und damit f(3)=0]  absolut nicht vergleichbar.

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Wenn - wie hier - in der Aufgabenstellung ausdrücklich eine 5. Bedingung genannt ist, genügt das  eben nicht!

In der Aufgabenstellung werden eben nicht ausdrücklich 5 Bedingnungen genannt/verlangt, sondern es ist von "indem Sie dem Graphen genügend geeignete Eigenschaften entnehmen" die Rede. Hier wurde eben die Eigenschaft des Extremums an der Stelle x = 3 gewählt. Dass man da den Punkt T(3|0) angegeben hat, ist nur über das Ziel hinausgeschossen und könnte in der Tat untersucht werden...genauso wie W(2|2) und die anderen Werte.

Grüße

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Deine Sichtweise ist nachvollziehbar. Bzgl. des Tiefpunkts ist die Lösung im unteren Bild unglücklich formuliert. Ich hatte sie als Aufgabenstellung interpretiert.

Gruß Wolfgang

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Dennoch danke für den Input. Kann nur weiterhelfen :).

Grüße

Answer 3

4a)

f(x) = a * x * (x - 3)^2

f(1) = a * 1 * (1 - 3)^2 = 4 --> a = 1

f(x) = 1 * x * (x - 3)^2

4b)

f(x) = a * x^2 * (x + 4)

f(-2) = a * (-2)^2 * (-2 + 4) = 2 --> a = 0.25

f(x) = 0.25 * x^2 * (x + 4)

4c)

f(x) = a * x^2 * (x + 3)

f'(-2) = a * (-2)^2 * (-2 + 3) = 2.6 --> a = 0.65

f(x) = 0.65 * x^2 * (x + 3)