Fragen zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Question

kann mir jemand zu den folgenden Aussagen sagen, ob sie stimmen oder nicht und kurz begründen?

1) Eine Funktion die in a nicht stetig ist, kann in a differenzierbar sein

2) |x²| ist bei x = 0 nicht differenzierbar.

3) |cos(x)| ist an x = 3π/2 nicht differenzierbar.

4) Wenn eine Funktion an der Stelle b nur stetig und nicht differenzierbar ist, dann sind links- und rechtsseitiger Grenzwert gegen b verschieden.

Answer 1

1) Eine Funktion die in a nicht stetig ist, kann in a differenzierbar sein

falsch, aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit,
aus der Nichtstetigkeit folgt die Nichtdifferenzierbarkeit.

2) |x²| ist bei x = 0 nicht differenzierbar.

falsch, es ist y = |x^2| = x^2 differenzierbar.

4) Wenn eine Funktion an der Stelle b nur stetig und nicht differenzierbar ist, dann sind links- und rechtsseitiger Grenzwert gegen b verschieden.

falsch, ein einfaches Beispiel wäre y = |x|.

(Man kann da durchaus noch mehr zu sagen.)

Comments

Nachfrage zu 1: wenn der Graph der Funktion bis -5 auf der x-Achse verläuft, also f(x)=0 und ab 5 bei 1, also f(x)=1, ist es dann nicht doch möglich?

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Nein, auch diese Funktion ist an ihrer Unstetigkeitsstelle nicht differenzierbar.

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noch eine Frage zu 2:

Wenn ich das skizziere, ist die Steigung von links Richtung 0 negativ und von rechts Richtung 0 positiv, trotzdem differenzierbar? Wieso?

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Das hatte ich versucht, durch die Umformung anzudeuten. Die Betragsstriche sind endbehrlich, da das Betragsargument ohnehin nicht negativ werden kann. Die Quadratfunktion ist aber auf den reellen Zahlen (Schulmathematik) differenzierbar. Dies darf man hier wohl als bekannt voraussetzen.