Hallo immai,
das ist eine Summe (bzw. Differenz), also teile man das Integral zunächst auf:
$$\int (x-3)e^{-x}\space dx = \int x \cdot e^{-x} \space dx - 3 \int e^{-x} \space dx$$
Der zweite Term ist einfach
$$\int e^{-x} \space dx = - e^{-x} + C$$
Um heraus zu finden, wie die Lösung des ersten Teils ist, leite ich zunächst mal den gleichen Ausdruck an. Bei Ausdrücken mit \(e^x\) ist das immer einen Versuch wert.
$$f(x)=x \cdot e^{-x} \quad f'(x)=e^{-x} - x \cdot e^{-x}$$
$$\Rightarrow \int (e^{-x} - x \cdot e^{-x}) \space dx = x \cdot e^{-x} + C$$
jetzt noch geschickt umstellen - (Bem.: \(\int e^{-x} \space dx = -e^{-x} + C\))
$$\Rightarrow \int x \cdot e^{-x} \space dx = - x \cdot e^{-x} - e^{-x} + C =-e^{-x}(x+1) + C $$
und alles zusammen fassen:
$$\int (x-3)e^{-x}\space dx = -e^{-x}(x+1) + 3 e^{-x} + C = e^{-x}(2-x) + C $$
Gruß Werner
