Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f(x) = x^2 e^x

Question

hallo könnten mir einer sagen wie ich jetzt weiter machen muss nachdem ich differenziert habe ?

ich komme auf f(x) = x^2 e^x  -> f'(x) = e^x( 2x +x^2) 

Wie komme ich jetzt auf die Extrem-Werte (-Punkte) ? 

Answer 1

f'(x) = e^x( 2x +x²)  = 0

<==>    x=0 oder x = -2

Diese beiden in die 2. Ableitung einsetzen und

schauen, ob Max- oder Minstelle.

Answer 2

Jetzt muss du untersuchen für welche x $$f'(x)=0$$ gilt. Und dann falls ein x es erfüllt muss noch zusätzlich untersucht werden, ob $$f''(x) \neq 0$$ ist. Ist für ein x beides erfüllt, dann liegt ein Extremum an der Stelle x vor.

Answer 3

Hallo BA,

f: ℝ → ℝ ,  f(x) = x² * e^x

f '(x)  =  e^x( 2x +x²)  =  e^x · x · ( 2 + x)      (hast du richtig)

die zweite Ableitung braucht man nicht:

f ' hat zwei Nullstellen bei 

x = 0    mit Vorzeichenwechsel von f '  von   - → +       ,  →  Minimumstelle

             [ weil f '(-1) < 0  und f '(1) > 0   (und f ' stetig ist)  nach dem Zwischenwertsatz ]

x = - 2  mit Vorzeichenwechsel von f '  von   + → -      ,  →  Maxiimumstelle

             [ weil f '(-3) > 0  und f '(-1) < 0   (und f ' stetig ist)  nach dem Zwischenwertsatz ]

Gruß Wolfgang

Answer 4

Ableitungen kannst du jeweils selbst hier überprüfen lassen:

 f(x) = x^2 e^x 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%5E2+e%5Ex 

Dein Ergebnis stimmt also. 

In dieser Form erkennst du die Nullstellen der Ableitung sofort. x1=0 , x2 = -2 . Mehr Nullstellen der Ableitung gibt es nicht. 

Weiter unten wird dir das lokale Maximum 4/e^2 und das lokale (und gleichzeitig globale) Minimum 0 gleich noch ausgerechnet und den richtigen Stellen (x-Werten) zugeordnet. 

Je nach dem, was du über die Stetigkeit ... der Funktion bereits herausgefunden hast, ist die zweite Ableitung überflüssig.

Du weisst, dass die Funktion stetig und differenzierbar ist. Ausserdem gilt 4/e^2 > 0 . Dann ist 4/e^2 sicher nicht ein Minimum und 0 gleichzeitig ein Maximum.