Richtungsableitung rechnen. f(x,y): = x^y

Question

Hallo könnte mir jemand erklärend a) und b) vorrechnen??

Answer 1

Hallo Rokko! :-)

a)
fx = yx^{y-1}
fy = x^y•log(x)
fx(1,1) = 1•1^{1-1} = 1
fy(1,1) = 1^1•log(1) = 1•0 = 0
grad(f) = (yx^{y-1},x^y•log(x))
grad(f)(1,1) = (fx(1,1), fy(1,1)) = (1,0)
v = (2,3) normiert: ṽ = (2/√13, 3/√13)
D_ṽf(a) = grad(f)(1,1)•ṽ = (1,0)•(2/√13, 3/√13) = 2/√13

b)
grad(f)(1,1) = (1,0)

c)
f(x,y) = x^y
fx = yx^{y-1}
fxx = y^2•x^{y-2} - y•x^{y-2}
fxy = x^{y-1} + y•x^{y-1}•log(x)
fy = x^y•log(x)
fyy =  x^y•log^2(x)
fyx = fxy
----------------------------------
f(1,1) = 1
fx(1,1) = 1
fxx(1,1) = 0
fxy(1,1) = 1
fy(1,1) = 0
fyy(1,1) = 0
----------------------------------
T_(1,1),2(x,y) = f(1,1) + fx(1,1)•(x-1) + fy(1,1)•(y-1) + 1/2•fxx(1,1)•(x-1)^2 + fxy(1,1)•(x-1)•(y-1) + 1/2•fyy(1,1)•(y-1)^2 =
 1 + 1•(x-1) + 0•(y-1) + 1/2•0•(x-1)^2 + 1•(x-1)•(y-1) + 0•(1,1)•(y-1)^2 = 1 + (x-1) + (x-1)•(y-1)

Beste Grüße
gorgar

Comments

1 + (x-1) + (x-1)•(y-1)

Kann man folgenden Ausdruck weiter zusammenfassen ?

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Ja, das geht: 1 + (x-1) + (x-1)•(y-1) = x + (x-1)•(y-1)

Answer 2

a) es gibt zwei Möglichkeiten dies zu berechnen:

Direkt die Richtungsableitung bilden oder das Differential im Punkt a bestimmen und dann auf den Vektor v anwenden.

$$df_a*v= (y*x^{y-1} \quad x^y log(x))_{(1,1)}*v=(1\quad 0) *(2\quad 3)^T=2$$

b) Der Gradient von f im Punkt a zeigt in die Richtung des größten Anstiegs. $$grad((f(x,y))(a)=(y*x^{y-1} \quad x^y log(x))^T_{(1,1)}=(2\quad 0)^T$$

D.h. f wächst in Richtung (2,0)^T in a am größten. Da wir nur an der Richtung interessiert sind und nicht in der größe des Vektors, wird er normiert:
$$\hat v:=\frac{grad((f(x,y))(a)}{||grad((f(x,y))(a)||}=\frac{(2\;0)^T}{2}=(1\;0)^T$$
Und nach a) folgt:

$$df_a*\hat v=\langle grad((f(x,y))(a),\hat v\rangle=||grad((f(x,y))(a)||=||(2\quad 0)^T||= 2$$