Berechnen Sie die Richtungsableitung von y^2e^x

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x, y)=y^{2} e^{x} \). Berechnen Sie die Richtungsableitung \( \partial_{v} f \) von \( f \) in Richtung \( v=(-2,1) \)

Problem/Ansatz:

Im Prinzip ist mir das vorgehen klar: Die Ableitung von x und von y bilden (Gradient).

Jetzt bräuchte ich doch aber ein x₀, um dann mit dem normierten Richtungsvektor das Skalarprodukt zu bilden.

So ein x_o ist hier doch aber nicht angegeben (oder übersehe ich jetzt komplett was bzw. kann man die Richtungsableitung auch anders berechnen?

Comments

Du musst nur das Skalarprodukt aus dem Gradienten (in einem beliebigen Punkt (x,y)) und der Richtung bilden.

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Ach so - vielen Dank für den Hinweis ☺

Answer 1

Aloha :)

Zur Bestimmung der Richtungsableitung reicht es, den Gradienten mit dem (normierten) Richtungsvektor zu multiplizieren:$$\partial_vf=\operatorname{grad}f(x;y)\cdot\frac{1}{\|\vec v\|}\vec v=\binom{y^2e^x}{2ye^x}\frac{1}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}\binom{-2}{1}$$$$\phantom{\partial_vf}=\frac{1}{\sqrt5}\left(-2y^2e^x+2ye^x\right)=\frac{2ye^x}{\sqrt5}\left(1-y\right)$$

Comments

Danke dir für die ausführliche Erklärung