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Wie zeige ich, dass die Funktion unter der Nebenbedingung xy=1 ein globales Minimum annimmt?

Höldersche Ungleichung

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wegen xy=1 hast du y = x-1

also f(x,y) = f(x,x-1 ) = f(x) = (1/p) * xp  +  (1/q)*x-q

gibt f ' (x) =  xp-1  -  x-q-1

Wegen 1/p + 1/q = 1 hast du p=q / (q-1)

also f ' (x) = 0

<=> xq / (q-1) -1  -  x-q-1  = 0


<=> x1/ (q-1) ( 1  -  x-q*q/(q-1)  = 0

wegen x>0 also nur erfüllt für x=1.

==> für alle u,v         f(u,v) ≥ f ( 1, 1 ) = 1/p + 1/q = 1 .

f ' ' (1) = p+q  > 0 , also Min. bei x=1 .

Einziges Min. einer stetigen Fkt ==> globales Min.

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Einziges Min. einer stetigen Fkt ==> globales Min.

Na, so einfach geht das aber nicht!

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