Aufgabe 8 Kritische Stellen von f und Nullstellenmengen. f(x) := (3-3y)*(x^2 -y )

Question

hallo

Kann mir hier einer weiter helfen.

Das ist einer der wenigen aufgaben, die ich noch draufhaben muss ! :)

Vielen Dank

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Also gerade die C) also kritischw stellen

Will ich verstehen :)

Ich brauch glaub hesselsche form oder so?

Answer 1

f(x, y) = (3 - 3·y)·(x^2 - y) = - 3·x^2·y + 3·x^2 + 3·y^2 - 3·y

Zunächst mal Ableitungen bilden

f'(x, y) = [6·x·(1 - y), -3·(x^2 - 2·y + 1)]

f''(x, y) = [6·(1 - y), - 6·x; - 6·x, 6]

Für die kritischen Stellen müssen die Partiellen 1. Ableitungen Null sein,

6·x·(1 - y) = 0

-3·(x^2 - 2·y + 1) = 0

Ich komme bei Lösen auf

(x = -1 ∧ y = 1) ∨ (x = 1 ∧ y = 1) ∨ (x = 0 ∧ y = 1/2)

Das prüft du durch einsetzen in die Hesse-Matrix

f''(-1, 1) = [0, 6; 6, 6] --> Sattelpunkt

f''(1, 1) = [0, -6; -6, 6] --> Sattelpunkt

f''(0, 1/2) = [3, 0; 0, 6] --> Tiefpunkt

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Vielen dank!

Kannst du bitte noch den schritt Mit Hesse Matrix zeigen?

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Was davon? Die Matrix aufstellen oder die Eigenwerte bestimmen?

Beides solltest du zunächst selber versuchen aber wenn du Probleme hast helfe ich dir gerne weiter.

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Uch habe schwierigkeiten bei der matrix aufstellung

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f(x, y) = - 3·x²·y + 3·x² + 3·y² - 3·y 

Die ersten Partiellen Ableitungen

f'x(x, y) = 6·x - 6·x·y

f'y(x, y) = - 3·x^2 + 6·y - 3

Die zweiten partiellen Ableitungen 

f''xx(x, y) = 6 - 6·y

f''xy(x, y) = -6·x

f''yx(x, y) = - 6·x

f''yy(x, y) = 6

Die zweiten partiellen Ableitungen bilden die Hesse Matrix.

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Ich komm irgwie leider nicht weiter :(

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Wobei kommst du nicht weiter ? Wo ist genau dein Problem?

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Den matrix auf zu bauen

Musst der so gehen

(6-6y       -6x)

( -6x         6)

?

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Ja genau. Das ist doch so richtig und stimmt mit meiner überein.

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Und jetzt den eigenwert bestimmen?

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Ja Genau.

Für Eigenwerte einer Matrix M und den Eigenvektor v gilt

M * v = k * v

M * v - k * v = 0

M * v - k * E * v = 0

(M - k * E) * v = 0

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Also

((6-6y)-lambda)*(6-lambda)+.... ?

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Genau. Ich nehme nur k statt lambda, weil ich eine Griechische Buchstaben-Allergie habe.

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Haha ok kann vorkommen^^

Ich versuch mal :)

Answer 2

a) (3-3y)*(x² -y ) = 0

<==>   y = 1   ∨   x²  = y

Die erste Bedingung erfüllen alle Punkte mit y-Wert 1,

das ist blaue Gerade und das andere die Parabel.

Der erste Faktor ist positiv für y<1, also bei den

Punkten unterhalb der Gerade und der

zweite ist positiv für    x²   >  y also bei den

Punkten unterhalb der Parabel. Also ist

dieser Bereich mit + zu markieren und der, bei

dem beide Faktoren negativ sind, also die Punkte,

die sowohl oberhalb der Parabel als auch oberhalb der

Geraden liegen .

~plot~ 1;x^2 ~plot~

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Und wie geht die c?