Taylorreihe von f : R → R mit f (x) = x^3 − x^2 + 1 um die Entwicklungsstelle a = 1 bestimmen

Question

Hallo ,

ich habe die folgende Aufgabe:  

Bestimmen Sie die Taylorreihe von f : R → R mit f (x) = x3 − x2 + 1 um die Entwicklungsstelle a = 1. Zeigen Sie, dass die Taylorreihe bei jedem x ∈ R gegen f(x) konvergiert  

die Taylorreihe sollte ((x-1)+1)^3- ((x-1)+1)^2+1 sein oder? 

aber jetzt hänge ich bei dem Konvergenz , kann jemand mir ein Tipp geben wie ich das zeigen soll 

Vielen Dank 

Comments

Tipp: die Reihe hat nur endlich viele Summanden

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Dein Resultat kannst du kontrollieren mit 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((x-1)%2B1)%5E3-+((x-1)%2B1)%5E2%2B1 

Da nur endlich viele Summanden vorkommen konvergiert die Summe auf jeden Fall. 

Schau aber mal hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=((x-1)%2B1)%5E3-+((x-1)%2B1)%5E2%2B1 

Du hast bei der Rechnung irgendetwas falsch gemacht. Auch die von Wolframalpha vorgeschlagene Taylorentwicklung hat nur 3 (und damit endlich viele) Summanden. D.h. die konvergiert überall. 

Verwende die Formeln, die du gelernt hast ganz normal, um die Koeffizienten der Taylorentwicklung zu bestimmen. 

Answer 1

Wenn du nicht die üblichen Formeln anwenden möchtest, solltest du aber hier noch weitermachen:

((x-1)+1)³- ((x-1)+1)²+1

= (x-1)^3 + 3*(x-1)^2 + 3(x-1) - ((x-1)^2 + 2(x-1) + 1) + 1 

= (x-1)^3 + 3*(x-1)^2 + 3(x-1) - (x-1)^2 - 2(x-1) - 1 + 1 

= (x-1)^3 + 2(x-1)^2 + (x-1) + 0

Wie gesagt: Nur 3 (und damit endlich viele) Summanden. D.h. die Summe konvergiert überall. 

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((x-1)+1)³- ((x-1)+1)²+1 

= (x-1)³ + 3*(x-1)² + 3(x-1) + 1  - ((x-1)² + 2(x-1) + 1) + 1 

= (x-1)³ + 3*(x-1)² + 3(x-1)  + 1 - (x-1)² - 2(x-1) - 1 + 1  

= (x-1)³ + 2(x-1)² + (x-1) + 1  

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Oh richtig! Besten Dank für die Ergänzung! 

Es muss am Schluss  (x-1)³ + 2(x-1)² + (x-1) + 1 heissen. 

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vielen Dank an alle !! 

Das hat viel geholfen :)