Wie sind die Innenmaße der Kiste zu wählen, damit die geringste Menge Holz verbraucht wird?

Question

Es soll eine rechtwinklige Holzkiste ohne Deckel mit einem Inhalt von 8 Litern

konstruiert werden (1 Liter = 10^-3 m³).

Wie sind die Innenmaße der Kiste zu wählen, damit die geringste Menge Holz

verbraucht wird?

Answer 1

Aus Erfahrung nimmt man eine quadratische Grundfläche deren Kantenlänge doppelt so groß ist wie die Höhe der Kiste.

Du sollst das sicher mit einer Extremwertaufgabe lösen.

Was ist die Hauptbedingung, was sind die Nebenbedingungen, was ist die Zielfunktion?

Comments

erstmal danke für die schnelle Antwort! Ja es handelt sich um eine Extremwertaufgabe in der ich das Minimum herausfinden soll. Ich denke die Hauptbedingung ist 8 = a * b * c , aber da liegt mein Problem. Ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll um eine sinnvolle und verwertbare Formel aufzustellen

---

Wir lassen zunächst die Höhe fest sein und prüfen wie Länge und Breite sein müssen, damit der Materialverbrauch möglichst klein wird.

Nebenbedingung

V = l·b·h = 8 --> l = 8/(b·h)

Hauptbedingung

A(l, b) = l·b + (2·l + 2·b)·h

A(b) = (8/(b·h))·b + (2·(8/(b·h)) + 2·b)·h

A(b) = 2·b·h + 16/b + 8/h

A'(b) = 2·h - 16/b^2 = 0 --> b = √(8/h)

l = 8/(b·h) = 8/(√(8/h)·h) = √(8/h)

Die Kiste müsste in Länge und Breite übereinstimmen. Man hat daher eine Quadratische Grundfläche. Das heißt jetzt nehmen wir eine Kiste mit quadratischer Grundfläche.

Nebenbedingung

V = a^2·h = 8 --> h = 8/a^2

Hauptbedingung

A(a, h) = a^2 + (4·a)·h

A(a) = a^2 + (4·a)·(8/a^2)

A(a) = a^2 + 32/a

A'(a) = 2·a - 32/a^2 = 0 --> a = 16^{1/3} = 2.520 dm

h = 8/(16^{1/3})^2 = 2^{1/3} = 1/2·a = 1.260 dm