Bestimmen Sie den Radius und die Höhe des Zylinders mit maximaler Mantelfläche, welcher Teilmenge von VR ist

Question

Hallo. Könnte mif jemand erläuternd folgende Aufgabe vorrechnen? Danke

Answer 1

zuerst machst du dir eine Skizze, in der du den Zylinder in die Kugel einzeichnest und die wichtigsten Größen kennzeichnest.

Als Freiheitsgrad genügt hier der Radius r des Zylinders.

Mit Pythagoras ergibt sich dann

R^2 -r^2=(h/2)^2 --> h=2√(R^2 -r^2)

Die Mantelfläche beträgt

M=2πrh=4πr√(R^2 -r^2)=M(r)

Dies soll maximiert werden.

Die Ableitung soll also null werden.

Schreibe M(r)=4π√(R^2 r^2-r^4)

Dann ist M'(r)=4π(2R^2 r-4r^3)/[2√(R^2 r^2-r^4)]

--->

r*(2R^2 -4r^2)=0

Für r=0 ergibt sich ein Minimum.

rmax=R/√2

h(rmax)=2R/√2

M(rmax)=2πR^2

Comments

Wie kommst du auf den Ausdruck nach M (r)? Und müsste dort nicht eine 4 statt eine 2 hin ??

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Gut aufgepasst, habe es geändert :)

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Noch 2 fragen. Habe ich Randwerte? Ich verstehe nicht wie du darauf kommst

R²-r²⁼(h/2)² 

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Um das zu verstehen musst du dir eine Skizze des Problems machen:

Randwertextrema gibt es nicht.

Für r=0 und r=R ergibt sich M=0

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und wie gebe ich den Mantelflächeninhalt abhängig von R an ? Ist das so bei M(r) bereits korrekt da das große R in der Formel auftritt oder muss man das dort noch anders bearbeiten ?

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M(R)=2πR^2 ist das Ergebnis aus der letzten Zeile.