ganze Zahl mit Betrag kleiner 17 sodass Aussage wahr ist

Question

Ich soll eine ganze Zahl angeben, sodass deren Betrag kleiner 17 ist und sodass die Aussage:

2^{4+(17^85)}Ξ _____ mod 17

Ich hätte jetzt gesagt, dass der Teil 17⁸⁵ wegfällt wegen mod 17. also nur noch 2^{4 .}aber dann wüsste ich nicht weiter

Comments

Hi, steht \(17^{85}\) im Exonent, wie angegeben, dann passt dies nicht zu deiner Argumentation unten.

Answer 1

2^4 + 17^85 ≡ x mod 17

2^4 ≡ x mod 17

16 ≡ x mod 17

x = 16

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y = x - 1                               

Answer 2

2⁽¹⁷ⁿ⁾Ξ 2 mod 17 für alle n∈ℕ

     2⁴≡16 mod17

2⁴·2⁽¹⁷⁸⁵⁾Ξ 16·2 mod 17

2^4+(1785)Ξ 32 mod 17

2^4+(1785)Ξ 15 mod 17

Comments

Wieso ist 2^{(17^n)} immer 2 mod 17?

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2¹⁷≡ 2 mod 17 (Kleiner Fermat)

(2¹⁷)¹⁷ ≡ 2¹⁷ ≡ 2 mod 17 (Regel über modulares Rechnen)

2(^{17^2}) ≡ 2 mod 17 (Potenzregel)

n-maliges Potenzieren mit 17 führt dann nach diesem Muster zu

2(^{17^n}) ≡ 2 mod 17.

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2^{17^5}) wäre ja 2^17 was nach Fermat 2 ist und 2^5 ist 32 mod 17 -> 15 und nicht 2

Hab ich irgendeinen Fehler in meinen Überlegungen?

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$$ 2^{17^5} \equiv 2^{1^5} = 2^1 = 2 \text{ mod }17. $$