linearfaktorzerlegung komplexe zahlen

Question

Aufgabe 1:
Gegeben ist das Polynom:
$$ P(z)=z^{4}-4 z^{3}+6 z^{2}-16 z+8, \quad z \in \mathbb{C} $$

ich soll von folgender Aufgabe eine Linearfaktorzerlegung vornehmen.

Verstehe nur nicht wie ich auf die Nullstellen kommen soll.

Normalerweise war immer wine gegeben womit ich dann das Hornerschema oder Polynomdivision durchführen konnte.

Und durchs Nullstellen "raten" kam ich auch nicht wirklich weiter.

Danke für die Hilfe

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Tipp:

Die Nullstellen muss man für die Faktorisierung nicht erraten. Das Polynom zerfällt in C  in 4 Linearfaktoren. Der Ansatz

p(z)=(z-a)(z-b)(z-c)(z-d) und Koeffizienten Vergleich könnte als zum Erfolg führen.

Answer 1

z^4 - 4·z^3 + 6·z^2 - 16·z + 8 

= (z^4 - 4·z^3 + 2·z^2) + (4·z^2 - 16·z + 8)

= (z^2 - 4·z + 2)·(z^2 + 4)

= (z - (2 - √2))·(z - (2 + √2))·(z - 2·i)·(z - (-2·i))

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Hi

eine weitere Frage habe ich noch:

ich suche die Nullstellen einer komplexen Gleichung:

z^3 - z^2*(1+6i) - z*(13-4i) -11 +10i = 0

ist das knifflig ?

---

z^3 - (1 + 6·i)·z^2 - (13 - 4·i)·z - 11 + 10·i = 0

Weißt du wie du vorgehen würdest, wenn es um reelle Nullstellen der Gleichung

z^3 + b·z^2 + c·z + d = 0

gehen würde? Vermutlich versuchen die erste Nullstelle zu raten und dann eine Polynomdivision machen.

Ich probiere mal z = 1 und z = -1

1 - (1 + 6·i) - (13 - 4·i) - 11 + 10·i = - 24 + 8·i
-1 - (1 + 6·i) + (13 - 4·i) - 11 + 10·i = 0

Offensichtlich ist z = -1 eine Nullstelle. Mache jetzt eine Polynomdivision oder wende das Horner Schema an. Aus der quadratischen Gleichung kannst du dann die beiden restlichen Nullstellen bestimmen.