Warum wird so substituiert?

Question

Wir haben das Integral: 1/((x+1)^2+a-1) mit a > 1. Der Integralrechner substituiert mit u = (x+1)/sqrt(a-1). Wie und warum?

Comments

Damit man das Integral in die Form

A*1/(x^2+1) bringt, davon kann man elementar eine Stammfunktion ermitteln

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Ja aber wie kommt man auf die Substituation?

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Man formt den Term zuerst um bevor man substituiert, dann wird alles nämlich glasklar:

$$ \frac { 1 }{ (x+1)^2+a-1 }=\frac { 1 }{ (a-1) }\frac { 1 }{ \frac { (x+1)^2 }{ a-1 }+1 }\\=\frac { 1 }{ (a-1) }\frac { 1 }{ (\frac { x+1 }{ \sqrt { a-1 } })^2+1 } $$

Jetzt sieht man die nötige Substitution sofort.

Answer 1

[arctan(x)]' = 1/(x^2 + 1)

Das heißt wenn es dir gelingt den Nenner auf x^2 + 1 zu bringen hast du beim Integrieren schon gewonnen.

Hast du also

∫ 1 / ((x + 1)^2 + b) dx

Substituiert man hier

u = (x + 1)/√b

du = 1/√b dx

= ∫ 1 / (b·((x + 1)/√b)^2 + b) dx

= 1/b ∫ 1 / (((x + 1)/√b)^2 + 1) dx

= 1/b ∫ 1 / (u^2 + 1) √b du

= 1/√b ∫ 1 / (u^2 + 1) du

= 1/√b atan(u) + c

= 1/√b atan((x + 1)/√b) + c

Comments

Ich habe nicht verstanden warum man so substituieren kann.

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Weil man dadurch den Nenner in die Form "(x² + 1)" bringen kann. Das ist hier das Ziel.