Warum wird so substituiert?

Question

Wir haben das Integral: 1/((x+1)²+a-1) mit a > 1. Der Integralrechner substituiert mit u = (x+1)/sqrt(a-1). Wie und warum?

Comments

Damit man das Integral in die Form

A*1/(x²+1) bringt, davon kann man elementar eine Stammfunktion ermitteln

---

Ja aber wie kommt man auf die Substituation?

---

Man formt den Term zuerst um bevor man substituiert, dann wird alles nämlich glasklar:

$$\frac { 1 }{ (x+1)^2+a-1 }=\frac { 1 }{ (a-1) }\frac { 1 }{ \frac { (x+1)^2 }{ a-1 }+1 }\\=\frac { 1 }{ (a-1) }\frac { 1 }{ (\frac { x+1 }{ \sqrt { a-1 } })^2+1 }$$

Jetzt sieht man die nötige Substitution sofort.

Answer 1

[arctan(x)]' = 1/(x² + 1)

Das heißt wenn es dir gelingt den Nenner auf x² + 1 zu bringen hast du beim Integrieren schon gewonnen.

Hast du also

∫ 1 / ((x + 1)² + b) dx

Substituiert man hier

u = (x + 1)/√b

du = 1/√b dx

= ∫ 1 / (b·((x + 1)/√b)² + b) dx

= 1/b ∫ 1 / (((x + 1)/√b)² + 1) dx

= 1/b ∫ 1 / (u² + 1) √b du

= 1/√b ∫ 1 / (u² + 1) du

= 1/√b atan(u) + c

= 1/√b atan((x + 1)/√b) + c

Comments

Ich habe nicht verstanden warum man so substituieren kann.

---

Weil man dadurch den Nenner in die Form "(x² + 1)" bringen kann. Das ist hier das Ziel.