Stammfunktion und Integral von (3x+5)/((x^3)+5(x^2)+7x+3)

Question

bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe - Bestimmung der Stammfunktion von f(x) und Grenzwert

$$\int _{ 0 }^{ \infty  }{ f(x)dx } $$ falls dieses existiert.

$$f(x)=\frac { 3x+5 }{ x^{ 3 }+5x^2+7x+3 } $$

Answer 1

x³+5x²+7x+3=(x+3)(x+1)². Damit Partialbruchzerlegung: f(x)=1/(x+1)²-1/(x+3)+1/(x+1). Dann summandenweise integrieren: F(x)= - ln((x+3)/(x+1)) - 1/(x+1)

Answer 2

1. Nenner  faktorisieren

(x+1)^2 (x+3)

2. Ansatz Partialbruchzerlegung:

(3x+5)/(x^3+5 x^2+7x+3) =A/(x+1)+B/((x+1)^2)+C/((x+3)

3.Koeffitienten durch z.B Koeff. vergleich bestimmen

4.Integrale berechnen

5. Grenzübergang tätigen : 1+ln(3)

Answer 3

Zerlege den Nenner in (x+3) * ( x+1)²  und mache eine

Partialbruchzerlegung des Bruches.  Gibt

1/ (x+1)²  +  1/ (x+1)   -  1 / ( x+3)

Also integriert :

- 1 / (x+1) + ln ( |x+1| / |x+3| ) + C

Das von 0 bis z gibt

 - 1 / (z+1) + ln ( |z+1| / |z+3| )  + 1 + ln(3)

und für z gegen unendlich ist das    1 + ln(3) .