Mit dem Wurzelkriterium sollte es gehen. Die Potenzreihe sei
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\frac{n-2}{n}}{\frac{n+3}{n}} \right) ^{n^2} x ^n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n-2}{n+3} \right) ^{n^2} x ^n$$
Ansatz für den Konvergenzradius \(\rho\) ist:
$$\frac{1}{\rho} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left( \frac{n-2}{n+3} \right) ^{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n-2}{n+3} \right) ^{n}$$
$$\space \Rightarrow \rho = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+3}{n-2} \right) ^{n}=\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{5}{n-2} \right) ^{n}= e^5$$
Gruß Werner