Konvergenzradius bestimmen (komplizierter)

Question

liebes Forum,

ich bin beim Bestimmen eines Konvergenzradius am Verzweifeln. In meinen Augen ist dies auch relativ schwer. Entweder es gibt einen Trick oder ich komm einfach nicht drauf. Die Potenzreihe lautet:

(((n-2)/n)/((n+3)/n)))^{n^2}

Für eine Antwort mit Rechenweg bzw. Hinweis wäre ich sehr dankbar.

Freundliche Grüße

Comments

Das ist keine Potenzreihe, es fehlen neben dem Summenzeichen auch x^n Terme.

Meinst du vielleicht

$$ \sum_{n=1}^{\infty}{{ a }_{ n }} x^n$$

wobei an das ist was du oben hin geschrieben hast?

---

Ja das stimmt, danke für die Anmerkung. 

Kann mir vielleicht trotzdem wer helfen?

---

Ganz genau das meinte ich, hab ich nur aus Zeitgründen weggelassen, danke ;)

Answer 1

Mit dem Wurzelkriterium sollte es gehen. Die Potenzreihe sei

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\frac{n-2}{n}}{\frac{n+3}{n}} \right) ^{n^2} x ^n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n-2}{n+3} \right) ^{n^2} x ^n$$

Ansatz für den Konvergenzradius \(\rho\) ist:

$$\frac{1}{\rho} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left( \frac{n-2}{n+3} \right) ^{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n-2}{n+3} \right) ^{n}$$

$$\space \Rightarrow \rho = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+3}{n-2} \right) ^{n}=\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{5}{n-2} \right) ^{n}= e^5$$

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

das ist ja super, vielen Dank, eigentlich gar nicht soo schwer, aber da wäre ich wohl nie draufgekommen.

Lieben Gruß, Fabian