LGS mit unendlich vielen Lösungen

Question

ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.

Ich habe die Gleichungen:

-(3/4)x₁ + (3/4)x₄ = 0   | EDIT: korrigiert gemäss Kommentar. 

-(1/2)x₂ + (1/8)x₃ = 0

(1/2)x₂ - (1/8)x₃ = 0

(3/4)x₁ - (3/4)x₄ = 0

Daraus bekommt man nun x₁ = x₄ und x₃=4x₂.

Laut der Lösung setzt man nun x₂ = t und erhält als Lösungsmenge den Vektor

{ ((1-5t)/2), t, 4t, ((1-5t)/2)}

Ich verstehe nur leider nicht, wie man auf ((1-5t)/2) kommt. Also wie man x₁ in abhängigkeit von t darstellen soll, da es nicht in der Gleichung vorkommt.

Answer 1

EDIT: Hast du bei der ersten oder der vierten gegebenen Gleichung einen Vorzeichenfehler?

1/3 x₁ +3/4 x₄ = 0

(3/4)x₁ - (3/4)x₄ = 0

sind 2 Gleichungen, aus denen du x1 und x4 ausrechnen kannst ( ohne ein t)

Comments

Ja sorry, die erste Gleichung ist : -(3/4)x₁ + (3/4)x₄ = 0 . Deshalb auch x1 = x4.

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EDIT: Habe das oben korrigiert.

Du hast aber irgendwo Information verloren.

Aus dem, was du hier noch hast, kannst du nur schliessen:

L = { X ∈ ℝ^4 | X = (s, t, 4t, s) mit s, t ∈ ℝ } 

Also: Eine 2-dim. "Ebene" in R^4 .

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Oh mann. Ich habe die ganze Zeit die Bedingung  x₁+x₂+x₃+x₄ = 1 in der Aufgabe überlesen. Damit ist dann auch alles klar.