Taylorreihenentwicklung y=1/cos(x) um den Nullpunkt bis zum x^2-Term

Question

Wie gehe ich vor für eine Taylorreihenentwicklung y=1/cos(x) um den Nullpunkt, bis zum x^2-Term? Die Kurve der genannten Funktion soll in Umgebung von x=0 durch Parabel angenähert werden.

Was heißt x=0? Das heißt "nur", dass es auf der y-Achse liegt? Ist das richtig? Oder ist der Koordinatenursprung gemeint?

Answer 1

Hallo JD,

>  f(x) = 1/cos(x)  

T_n(f,x,a)  =   \(\sum\limits_{k=0}^{n} \)  f^(k)(a) / k! · (x - a)^k 

Bei dir sind  n = 2  und  a = 0 :

T₂(f,x,0)  =   \(\sum\limits_{k=0}^{2} \)  f^(k)(0) / k! · x^k 

das ergibt mit den Ableitungen 

                     f⁽¹⁾ (x)  =  SIN(x) / COS²(x)    ( [1/u] ' = -u'/u² ) 

              und   f⁽²⁾ (x)  =  (SIN²(x) + 1) / COS³(x)     (Quotientenregel)  

T₂(f,x,0)  =  1/cos(0) / 0! · x⁰  +  0  +  1/2 · x²  =  1/1 / 1 · 1  +  0  +  1/2 · x²

T₂(f,x,0)  =  1 + 1/2 · x²

^{---------------}

>  Was heißt x=0? Das heißt "nur", dass es auf der y-Achse liegt? Ist das richtig? Oder ist der Koordinatenursprung gemeint? 

Taylorreihenentwicklung um den Nullpunkt (x₀=0)  bedeutet, dass die Werte des  Taylorpolynoms  in der Nähe von x=0  näherungsweise mit den Funktionswerten übereinstimmen.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Alternativlösung:

Man kann das Taylorpolynom durch Ableiten der Funktion und Verwendung der Taylorformel bestimmen.

Mit x=0 ist die Entwicklungsstelle gemeint, dann enthält die Taylorreihe Potenzen von (x-0)=x.

Setzt man die Taylorreihe für den Cosinus und die geometrische Reihe als bekannt voraus, kann man sich dies jedoch einsparen.

Das Taylorpolynom 2ten Grades für den Cosinus an der Entwicklungsstelle x₀ = 0 lautet

cos(x) ≈ 1-x^2/2

Somit kann man 1/cos(x)≈1/(1-x^2/2) nähern .

Dies ist eine geometrische Reihe:

1/(1-x^2/2) ≈ 1+ x^2/2 + (x^2/2)^2 +(x^2/2)^3+....

Da nur nach dem Taylorpolynom 2ten grades gefragt ist erhält man

 1/cos(x)≈1/(1-x^2/2)≈1+ x^2/2

Answer 3

$$y=\frac{1}{cos(x)}=(cos(x))^{-1}\\ y'=(-1)\cdot (cos(x))^{-2}\cdot (-sin(x))\\ y'=\frac{sin(x)}{cos^2(x)}\\ u=sin(x)\\ u'=cos(x)\\ v=cos^2(x)\\ v'=-2cos(x)sin(x)\\ y''=\frac{cos(x)\cdot cos^2(x)-[sin(x)\cdot (-)2cos(x)sin(x)]}{cos^4(x)}\\ y''=\frac{cos^3(x)+2cos(x)sin^2(x)}{cos^4(x)}\\ y''=\frac{cos^2(x)+2sin^2(x)}{cos^4(x)}\\ ⇒ \\ y=\frac{1}{cos(x)}\qquad\qquad ;y(0)=1\\ y'=\frac{sin(x)}{cos^2(x)}\qquad\qquad;y'(0)=0\\ y''=\frac{cos^2(x)+2sin^2(x)}{cos^3(x)}\quad ;y''(0)=1\\ ⇒y=1+0\cdot (x-0)+\frac{1}{2}(x-0)^2\\ y=1+\frac{x^2}{2}$$