Dimension eines Vektorraums bestimmen

Question

Ich lerne gerade für eine Klausur und komme nicht mehr weiter.

Die Aufgabe:

U = {A ∈ R^{3×3} | ∑a_(ii) = 0}  mit ∑ von 1 bis 3. Bestimmen Sie die Dimension von U.

Meine Idee:

Ich denke, dass die Dimension 3 ist, da man die Diagonale ja durch 3 Matrizen darstellen kann. Eigentlich ist es ja auch egal was unter oder oberhalb der Diagonalen steht, aber trotzdem zweifel ich an Dimension 3, da man ja alle Matrizen aus R^{3x3} darstellen soll die in U liegen, deshalb ist es dann vielleicht doch Dimension 9.

Ich habe Ideen, aber finde keine wirkliche Begründung. Es würde mich freuen, wenn mir irgendwer helfen könnte und ich nicht komplett falsch liege. ;)

Comments

Anwort war falsch und wurde gelöscht.

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danke für deine Antwort! :)

Darüber hatte ich auch schon nachgedacht aber müssen nicht auf der Diagonalen trotzdem Einträge stehen können? Also a_(11)=a_(22)+a_(33), weil so gilt U doch nur wenn nur 0er auf der Diagonalen sind oder ist das falsch? Ich würde mich freuen, wenn du mir erklären könntest, warum ich falsch liege. :D

Liebe Grüße

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3x3 Matrizen besitzen 9 Freiheitsgrade (Einträge).

Durch die zusätzliche Bedingung ∑ (i=1 bis 3) a_ii = 0  ist durch die Wahl zweier Diagonaleinträge der

dritte Diagonaleintrag eindeutig festgelegt, daher die Dimension wird um 1 reduziert.

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Also ist die Dimension 8 und wird wie in der Antwort von gorgar plus a_(11) = a_(22)+a_(33), also durch 2 zusätzliche Basismatrizen dargestellt?

Habe ich das richtig verstanden?

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@gorgar: In der Bearbeitungszeit (ist für Moderatoren länger) kannst du problemlos eine Antwort in einen Kommentar umwandeln. So hast du sofort die Möglichkeit nochmals eine Antwort zu verfassen.

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Hallo Lu! :-)
Danke für den Tipp.

gorgar

Answer 1

Auf ein Neues! :-)

$$a_{11} + a_{22} + a_{33} = 0 \Rightarrow a_{33} = - a_{11} - a_{22} \\\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & -a_{11}-a_{22}\end{pmatrix} \\\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & -a_{11}-a_{22}\end{pmatrix} = a_{11}E_{11}+a_{12}E_{12} + a_{13}E_{13} + a_{21}E_{21}+ a_{22}E_{22} + a_{23}E_{23} + a_{31}E_{31} + a_{32}E_{32} - a_{11}E_{33} - a_{22}E_{33} = \\a_{11} \left( E_{11}-E_{33} \right) + a_{12}E_{12}  + a_{13}E_{13} + a_{21}E_{21}+ a_{22}(E_{22}-E_{33}) + a_{23}E_{23} + a_{31}E_{31} + a_{32}E_{32}$$
Ein Erzeugendensystem von \( U \) hätten wir schon mal.
Jetzt müsste man noch zeigen, dass dieses Erzeugendensystem , nämlich \( \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}, E_{12},E_{13},E_{21},\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix},E_{23},E_{31},E_{32} \) linear unabhängige Vektoren sind und das ist tatsächlich der Fall. Es folgt also \( \dim{(U)} = 8 \).

Beste Grüße
gorgar

Comments

Gern geschehen :-)
Ich musste ja auch meinen Blödsinn irgendwie wieder gut machen!