Dimension des Vektorraums V als ein Ausdruck von m,n und rk(A)

Question

Sei K ein Körper, m,n ∈ ℕ und A ∈ Mat mxm (K)

Betrachten wir folgende Menge:

V= {X ∈ Mat mxn (K) | AX=0}

Beweisen Sie, dass V ein Vektorraum und

berechnen Sie die Dimension des Vektorraums V als ein Ausdruck von m,n und rk(A)

Wie gehe ich hier vor ? Den Vektorraum Beweis habe ich hinbekommen, aber bei der Dimension scheitere ich leider.

Answer 1

Die Abbildung

        \(\varphi_A: \operatorname{Mat}_{m\times n} (K)\to \operatorname{Mat}_{m\times n} (K), X\mapsto AX\)

ist linerar. Deshalb gilt laut Dimensionssatz

        \(\dim\operatorname{Mat}_{m\times n}(K) = \dim \operatorname{Bild}\varphi_A + \dim\operatorname{Kern}\varphi_A\).