Vektoren linearkombination und Dimension des Vektorraums

Question

Aufgabe1:

Gegeben sind die folgenden Vektoren in R^(3) mit alpha € R.

v_1= (14,-3,-6), v_2= (8,-3,-3), v_3= (alpha,0,1)

Bestimmen Sie alpha € R so, dass die Vektoren v_1,v_2 und v_3 linear abhängig sind und stellen Sie v_1 als Linearkombination der Vektoren v_2 und v_3 dar.

alpha = ?

v_1 =   ... v_2 + ...v_3

Bestimmen Sie für dieses alpha die Dimension des Vektorraums L(v_1,v_2,v_3).

dim(L(v_1,v_2,v_3))= ?

mein ansatz?

v1 *- v2 *(alpha,0,1) = (0,0,0)

v_1= (keine ahnung^^)v2+ keine ahnung^^

dim(L(v1,v2,v3)= ?

Answer 1

Hallo immai

[14, -3, -6]   =  b · [8, -3, 3] +  a · [α, 0, 1]  =  mit passenden a, b  und α  wäre eine Darstellung von v₁ (mit passendem α) als Linearkombination von v₂ und v₃ . Eine solche LK ist nur möglich, wenn die drei Vektoren linear abhängig sind 

Du erhältst daraus für jede Koordinate eine Gleichung:

a·α + 8·b = 14       G1

-3b =-3      G2

 - 6·a + 3·b = 1     G3

G2 →  b = 1   →_{b in G3}    a = -9 

a,b in G1  →   α = -2/3

Die Dimension des Vektorraums L(v₁ ,v₂, v₃)  ist die maximale Anzahl unter den drei genannten Vektoren, die linear unabhängig sind.

Da v₂ kein Vielfaches von v₁  ist, sind beide linear unabhängig. Alle drei zusammen sind linear abhängig.

→  die Dimension ist 2 

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank!

Mir fehlt dann

v_1 =  ... v_2 + ...v_3

Dieser part :)

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Hatte das vorher andersherum "verinnerlicht" und inzwischen geändert.

      v_1        =  1 · v_2         +  (-9) · v_3

[14, -3, -6]   =  1· [8, -3, 3]   - 9 · [ -2/3 , 0 , 1 ]

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also sind die antworten 1 und minus 9?

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alpha = ?    α =  -2/3  

stellen Sie v_1 als Linearkombination der Vektoren v_2 und v_3 dar.

[14, -3, -6]  =  1· [8, -3, 3]  - 9 · [ -2/3 , 0 , 1 ]

Das  sind die Antworten.

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Vielen Dank aber in der Aufgabe stand V_1 und so fest^^

hat mir aber sehr geholfen^^

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... aber in der Aufgabe stand V_1 und so fest^^

v₃  stand keineswegs fest!

wenn du

v₁ = 1 * v₂  - 9 * v₃    schreibst, ist das falsch,

denn das stimmt nur mit  α = -2/3 !

Die Zahlendarstellung ist also sehr sinnvoll!

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v_1 =  ... v_2 + ...v_3

... diese stelle ist grau gewesen zum ausfüllen und die v's standen so da.

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Klar ich glaub dir :)

Aber die aufgabe stand da so, oder ich verstehe irgwas nicht.

Soll ich für kurz das bild hochladen?

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gegen

mit  α = -2/3 gilt

v₁ = 1 * v₂ + (-9) * v₃

im Zusammenhang ist nichts einzuwenden.

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Alles klar verstanden :)

Könntest du bitte noch bei den anderen aufgaben helfen?