Question

Bestimmen Sie die Dimension des R-Vektorraums

W_r := { (x, y, z) ∈ R³ | rx + y = x + ry + z = y + rz = 0 }
in Abhängigkeit von r ∈ R.

Comments

Hallo

wieviele Lösungen bekommst du denn für dieses GS?

Gruß lul

Answer 1

Das ergibt ein homogenes Gl.system mit der Matrix

    r      1      0
   1      r       1
   0      1       r

Dessen Determinante ist  r*(r^2 - 2) .

Hat also den Wert 0 genau in den 3 Fällen

r=0     r=√2        r=  -√2

In allen anderen Fällen ist es eindeutig lösbar,

also ist dann W_r der Nullraum, also dim=0.

Für r=0 ergibt sich in Stufenform

1   0    1
0   1    0
0   0    0

also eine 0-Zeile , also dim=1.

Für r=√2  ergibt sich in Stufenform

1   0,5*√2    1
0   1           √2
0   0             0

also eine 0-Zeile , also dim=1.

Für r=-√2  ergibt sich in Stufenform

1   -0,5*√2    1
0   1           -√2
0   0             0  also eine 0-Zeile , also dim=1.