Basiswechsel Bogenlänge

Question

ich soll zeigen, dass das integral über eine stetige Kurve f: [a,b] -> Rⁿ mit L(f(t)) =  ∫|f'(t)| dt unabhängig von der Wahl der Basis ist, in der f dargestellt wird.

Also dachte ich mir, dass ich erstmal beginne, die Komponentenfunktionen f₁(t),...,f_n(t) als Koordinaten der Bildpunkte von f aufzufassen und diese dann bzgl. einer anderen Basis, z.B.

B = (b₁,...,b_n) darzustellen.

Dann bekäme ich im Integral bezüglich der Basis B die Ableitung von f im Betrag, jeweils von links und rechts multipliziert mit der Transformationsmatrix bzw. deren Inverse. Leider kam dabei nichts richtiges heraus.

Comments

Deine Umschreibung der Aufgabe klingt so konfus wie Deine Kommentare dazu. Wie lautet die tatsaechliche Aufgabenstellung?

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Zeigen Sie, dass das Integral zu einer stetigen Kurve

[a,b] -> R^n

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum R^n unabhängig von der gewählten Basis ist.

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Welches Integral?

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Die Aufgabe ist genau so gestellt. Thematisch im Zusammenhang mit der Bogenlänge eine Kurve.

Kannst Du mir weiterhelfen?

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Wie definiert ihr \(|x|\) ohne auf eine Koordinatendarstellung von \(x\) zuzugreifen?

Es liegt doch auf der Hand, dass \(|x|:=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\) von den Koordinaten und also auch der Basis abhaengt.

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Über die euklidische Norm. Ich dachte mir das auch, aber scheint wohl nicht so zu sein.