ich habe folgendes DGl Sytem gegeben:
x'1 = x1-x2+4t
x'2 = x1+3x2 + e^t
mit dem Anfangswertbedinungen:
x1(0) = 1
x2(0) = 0
Ich werde nun anfangen das DGL System zu lösen, wäre nett wenn ihr meine Rechnung verfolgt und mich auf Fehler hinweist.
Matrix aus dem DGL System aufstellen und erstmal den inhomogenen Part ignorieren:
und davon die EW berechnen:
(1-λ)(3-λ)-1*(-1) = 0
D.h λ^2-4λ+4 und daraus folgt:
λ1,2 = 2
Jetzt mit dem doppelten EW 2 die EV berechnen.
Bei den DGL Systemen kann ich ja aufgrund von verschiedenen EW, verschiedene Fälle haben.
1. Zwei verschiedene reelle EW
2. Zwei komplexe EW
3. Doppelte EW
Da schonmal eine Frage, für den doppelte EW, gibt es ja zwei verschiedene Fälle.
a: Doppelter EW ergibt zwei verschiedene EV.
b: Doppelter EW ergibt einen EV und man muss einen Hauptvektor bestimmen.
Mir ist an dieser Stelle nicht ganz klar wie man mit einem doppelten EW überhaupt zwei verschiedene EV finden soll. Kann mir das jemand erklären anhand eines Beispiels?
Nun weiter:
Mit dem doppelte EW λ1,2 = 2
bekomme ich nur einen EV, also Fall 3.b)
Der EV ist v1=
Jetzt den Hauptvektor bestimmen:
v2 =
Jetzt kann ich die homogene LSG für das inhomegene DGL System bilden:
x(t) = c1e^2t(v1)+c2e^2t(v2+t*v1)
Soweit so gut, das ist also die homogene LSG. des DGL Systems, nun muss ich ja aber noch die partikuläre bestimmen.
Wie bilde ich denn bei inhomogenen DGL Systemen den Ansatz.
Unsere inhomogenität ist ja 4t bei x'1 und e^t bei x'2.
Aus normalen DGL's würde ich spontan sagen ist der Ansatz für das Polynom 4t -> at+b und für die e-Funktion e^t -> ae^t
Ist das richtig und wenn ja wie ist denn dann das weitere Vorgehen?
Hilfe wäre sehr nett!
Freundliche Grüße!
