Wie berechnet man diese Determinante dieser 4x4 Matrix

Question

Ich weiß, ich muss das in Dreiecksform umformen, aber nach x Versuchen gelingt es mir leider nicht...

Deswegen wollte ich euch fragen, wie man das am besten macht...

Und wieso kommt bei b 0 raus für x1=x2=x3=... = 0

Gegeben ist das Gleichungssystem \( \left(\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {3} & {4} \\ {-2} & {1} & {1} & {3} \\ {0} & {2} & {0} & {0} \\ {1} & {4} & {1} & {5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \\ {x_{4}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right) \)

a) Berechnen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix.
b) Was folgt aus a) für die Lösung(en) des Gleichungssystems? (Das Gleichungssystem soll      nicht gelöst werden!) 

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Vom Duplikat:

Titel: Was habe ich da falsch gemacht (Determinante)

Stichworte: berechnen,matrix

Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen.. Kriege die falsche Lösung raus.... + 58 statt -58

Answer 1

Hallo  user18697! :-)

Beste Grüße
gorgar

Comments

Wenn ich das gemacht habe, ging irgendwann gar nichts mehr ohne es in Brüche zu zerlegen.

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Und wie kommste auf *1/7 und *(-1) bei det a

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Es geht ohne Brüche, wie Du siehst.

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"Und wie kommste auf *1/7 und *(-1) bei det a"

Gemäß dieser Regeln: https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Gau.C3.9Fsches_Eliminationsverfahren_zur_Determinantenberechnung

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Ich verstehe trotzdem nicht , wieso du auf *(-1)* 1/7 kommst... kann es leider nicht nachvollziehen, woher diese Zahlen kommen

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Für jemanden der sich gerade erst damit beschäftigt bestimmt etwas verwirrend.

Das Vorzeichen der Determinante ändert sich wenn man zwei Zeilen oder Spalten tauscht.

Daher die (-1) .

Wenn man eine Zeile oder Spalte mit einem Faktor c multipliziert ändert sich die Determinante dementsprechend um diesen Faktor. Daher die (1/7)

Gorgar hat den Wert seiner Dreiecksmatrix B korrigiert, da er Umformungen durchgeführt hat, welche den Wert der Determinante änderten.

Gute Nacht sigma

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Dann müsste er es ja für jeden Wert machen, denn er ungeformt hat und nicht nur für 1/7

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Nein. Nur im letzten Schritt multipliziert er die 4. Zeile mit (7)

Wenn man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile addiert ändert sich der Wert der Determinante nicht.

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und die *(-2)

Und muss man immer, wenn man was vertauscht es mal (-1) multiplizieren

z.B. , wenn man 2 mal vertauscht?

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und die *(-2)

Nochmal:

Wenn man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile addiert ändert sich der Wert der Determinante nicht.

Und muss man immer, wenn man was vertauscht es mal (-1) multiplizieren

Ja bei Zeilen oder Spalten.

z.B. , wenn man 2 mal vertauscht?

Na das ist doch logisch.

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Hallo :D Im Prinzip habe ich schon verstanden, dass man, wenn man zwei Zeilen vertauscht die det *(-1) nehmen muss und wenn man ein c-faches dazu multipliziert auch * (1/c-faches). Aber ich verstehe den Unterschied zwischen Vielfachem und c-fachem nicht so ganz. Das *7 im letzten Schritt ist doch einfach das 7-fache der letzten Zeile ?

Vielen Dank schonmal für eine Antwort :)

Answer 2

Um die Determinante zu berechnen muss man es nicht auf Dreiecksform bringen. Das ist wichtig. Mit der Dreiecksform verdödelst du hier nur unnötig Zeit.

Entwickel nach der 3. Zeile. Das sieht nicht so schwer aus. Das solltest du schaffen.

Lösung: - 2·DET([1, 3, 4; -2, 1, 3; 1, 1, 5]) = -58

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Was meinste mit "Entwickel nach der 3 Zeile"?

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Was meinste mit "Entwickel nach der 3 Zeile"?

Lies den Part zur Effizient bei vielen Nullen hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Laplacescher_Entwicklungssatz 
Die Rechnung siehst du übrigens, wenn du mit der Maus die Zeile neben Lösung: markiertst. 

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Muss man die Matrix dafür umdrehen?

 -  + - +

(1 0 -2 1

4 2 1  0

1 0 3 1

5  0  3 4)

Und dann entsprechend Vorzeichen vertauschen?(Also müsste man es , wenn man sie umdrehen würde?

Und ist es überhaupt nötig , die umzudrehen?

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Die Determinanten der 2-er-Kästchen sind falsch. (Vorzeichen)!

det ((3,4)(1,3)) = 3*3 - 1*4 = 5

usw.

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Bitte keine Duplikate einstellen! https://www.mathelounge.de/462575/was-habe-ich-da-falsch-gemacht-determinante

Oder wenigstens einen Hinweis mit Link  hinterlassen, wo deine "neue Frage" beatwortet wurde. https://www.mathelounge.de/462575/was-habe-ich-da-falsch-gemacht-determinante

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Du machst dir das Leben unnötig schwer.

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

DET([1, 3, 4; -2, 1, 3; 1, 1, 5])

= 1·1·5 + 3·3·1 + 4·(-2)·1 - 1·1·4 - 1·3·1 - 5·(-2)·3 = 29

-2·29 = -58

PS: Du solltest Dringend nochmal nachsehen wie man die Determinante einer 2x2 Matrix ausrechnet.

DET([3, 4; 1, 3]) = 3·3 - 1·4 = 5

Damit sind vermutlich alle Deine 2x2 Determinanten im Vorzeichen falsch.

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Soll ich jetzt die Regel von Sarrus anwenden oder 2 er Kästchen

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Rechne beides mit der Stoppuhr und vergleiche den Aufwand. Was ist schneller?

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Was ist für dich schneller?

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Über die Regel von Sarrus rechnen finde ich deutlich schneller. Aber mach so wie du denkst und so wie du es kannst.

Answer 3

Hallo user,

a)

hier findest du ein Beispiel für die Entwicklung einer Derterminante nach einer Spalte mit 3 Nullen. Genauso kann man eine Determinante mit einer Zeile mit 3 Nullen (3.Zeile) auf die Berechnung einer 3x3-Determinante zurückführen. Danach kann man weiter in 2x2-Determinanten entwickeln oder die Sarrus-Regel für die 3x3-Matrix anwenden:

https://www.youtube.com/watch?v=AnezNBuRkEY

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

Kontrollergebnis:  -58

b)

>  Und wieso kommt bei b 0 raus für x1=x2=x3=... = 0

Das ist "normal". Wenn die Koeffitientenmatrix einen Wert ≠ 0 hat, hat das LGS nur diese triviale Lösung.

Gruß Wolfgang

Comments

und, wenn die einen Wert = 0hat?

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Und wie wendet man die Dreiecksform richtig an?

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> und, wenn die einen Wert = 0 hat?

Dann gäbe es unendlich viele Lösungen.

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>  Und wie wendet man die Dreiecksform richtig an?

Wenn man hier wie beschrieben die Determinante berechnet, benötigt man keine Dreiecksform.

Allgemein zur Anwendung der Dreiecksform vgl. hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren

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VERSTEHE den zweiten umformungsschritt nicht zu 2x2 matrizen

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Geht genau wie beim ersten Schritt. Aber du musst das nicht machen.

Wende auf die 3x3-Matrix einfach die Sarrusregel an (Vgl. 2. link in der Antwort).

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Und, wenn ich keine 0en finde??? Meine Matrix hat ja nicht so viele Nullen ):

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Du solltest dir mehr Zeit zum Lesen einer Antwort nehmen, bevor du ständig weiter kommentierst.

 Außerdem solltest du dir das Video erst einmal ansehen und es dann probieren. Wenn du mit dem Video nicht klarkommst, kannst du auch hier nachlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante     (3.3)

Deine Matrix hat in der dritten Zeile 3 Nullen. Und die Entwicklung geht dann völlig analog zum Video.
Auch wenn du keine Nullen hättest, könntest du so entwickeln. Dann würden aber drei  3x3-Determinanten übrigbleiben. Das wäre dann einfach nur mehr zu rechnen.

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Der sagte ja, man muss möglichst eine Spalte mit vielen 0en nehmen

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Und ich schrieb, dass du das genauso mit einer Zeile machen kannst.

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muss man das anders rum machen , dass man 0 2 0 0 vertikal makiert, oder wie hast du das gemacht?

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Du meinst    " 0 2 0 0 horizontal markiert".

Ja.

Im Zweifelsfall  - wie auch schon erwähnt - nachlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante     (3.3)

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Also im Zweitfall gilt trotzdem diese Laplace-Regel?

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Muss man den Faktor der vorvorherigen Matrix beibehalten ..

Beispiel -2(1(5( Unterdeterminanten)

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verändert sich dann + und -, wenn man es horizontal anlegt??

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Bei jeder nxn-Determinante  hat das Vorzeichenschema für die Entwicklung links oben ein + .

Das Vorzeichen ändert sich dann nach unten von Zeile zu Zeile und nach rechts von Spalte zu Spalte.

Da deine "Beste Antwort" mir zeigt, dass dich der eigentliche Sinn der Aufgabenstellung wesentlich weniger interessiert als eine Komplettrechnung mit der Dreiecksmatrix beende ich hier meine Kommentare.

Zum Abschluss noch ein Link zu einem schönen Beispiel mit einer 3x3-Entwicklung nach der 1. Zeile:

https://www.mathelounge.de/529158/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-2

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Tut mir leid, aber der andere hat sogar genau dargestellt, wie er das gemacht hat, was man auch

gut nachvollziehen konnte..

Du hast mir leider nicht eine klare Antwort gegeben ob die -2 auch , wenn man die Matrix horizontal betrachten würde -2 bleiben würde, da sonst oben links ein + wär

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> Und wie wendet man die Dreiecksform richtig an?

Hatte mit meiner auf deine Frage bezogene Anwort absolut nichts zu tun.

> Und, wenn ich keine 0en finde??? Meine Matrix hat ja nicht so viele Nullen ):

> Der sagte ja, man muss möglichst eine Spalte mit vielen 0en nehmen

Dazu stand alles in der Antwort.

> Muss man den Faktor der vorvorherigen Matrix beibehalten ..

>  Beispiel -2(1(5( Unterdeterminanten)

Noch unverständlicher geht es wirklich nicht 

> Tut mir leid ....  Du hast mir leider nicht eine klare Antwort gegeben ... 

Muss es nicht :-)

Werde dich in Zukunft mit meinen unklaren Antworten nicht mehr belästigen.

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Nein , ich habs ja eigentlich fast verstanden, bloß ich meinte nur, dass die -2 nicht zu + werden kann wenn man die Matrix umdreht, da ja die Vorzeichen mitgenommen werden müssen..

Das hieße , dass oben links - wäre...

Ich hatte nur den Eindruck, dass du sowieso kein Kommentar mehr geben wolltest.

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Bereits vor 23 Stunden hatte ich schon in einer versteckten Antwort die Lösung geschrieben.

Mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz ist die ganze Rechnung eigentlich sehr einfach. In der Zeit in der man gerade mal den ersten Schritt oder zweiten Schritt im Gaussverfahren gemacht hat ist man mit dem Entwicklungsstaz schon fertig.

Nutze dir bekannte Unterlagen um die Grundlagen zu erarbeiten. Leider sieht es so aus, als wenn du noch einige Lücken aufzuarbeiten hast.

Daher bringt es auch nichts wenn du einfach nur Lösungen abschreibst.

Das du hier immer noch aktiv bist könnte ein Zeichen sein, dass du das Gaussverfahren doch noch nicht verstanden hast.

Erst wenn du das wirklich verstanden hast kannst du dich an den Entwicklungssatz setzen. Dazu zunächst die eigenen Unterlagen befragen, dann hilfreiche Seiten wie Wikipedia. Wenn du darüberhinaus eine Frage hast hilft dir hier jeder Gerne aber zunächst solltest du auch bereit sein dir Grundlagen mal selber durchzulesen.

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Ich habe es jahr umgedreht und so die selbe Lösung rausgekriegt , wie ich gerade schon gesagt habe

mit - + - + ...

da ich ja die Vorzeichen mitnehmen sollte, deswegen die Frage ja!

Und, wie hast du das gemacht auch umgedreht?

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Nein. Ich kenne auch kein Verfahren wo man eine Matrix um 90 Grad im Uhrzeigersinn dreht? Woher hast du das? Selber ausgedacht?

Du brauchst die Matrix nicht drehen. Die reine Formel wie es zu rechnen ist steht bei Wikipedia.

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ich kriege ja das Ergebnis , wenn ich diese Technik, wie du schreibst ja raus ..

Bloß leider mit einem + davor (+58) 3 mal durchgerechnet

Answer 4

Bei der Ausrechnung der 2x2 Determinanten ist der Fehler.

Es ist z.B

3  4
1  3

= 3*3-4*1 und nicht 1*4-3*3

Comments

Sonst habe ich alles richtig gemacht???

Danke <333333

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Klar, der Rest ist OK.