Preisabsatz- / Umsatzfunktion Extremwertaufgabe

Question

in Hinblick auf eine bevorstehende Klausur habe ich eine Übungsaufgabe bei der ich mir nicht ganz sicher bin ob sie denn so richtig ist.

Aufgabe. 

Gegeben sei eine Preisabsatzfunktion p(x)= 200-3x (Bemerkung: wobei p(x) der Preis als Funktion der abgesetzten Menge x ist.)

Für welche Absatzmenge und welchen Preis wird der Umsatz U (p , x  ) = p*x maximal ? Weisen Sie nach, dass es sich um ein lokales Maximum handelt.

Hilfestellung: Stellen Sie zuerst die Umsatzfunktion mit Hilfe der Preisabsatzfunktion als eine Funktion nur von der Absatzmenge x dar.

Ansatz

U= p(x)*x     U= (200-3x)*x     U=200x-3x^2 = Umsatzfunktion ?

U=200x-3x^2   U'=200-6x    U''=-6

U'=0    200-6x=0 /-200    -6x=-200  / *(-1)   6x=200  / :6   x=200/6  = 100/3

U'' < 0 = lokales Maximum

p(100/3)= 200- 3 * 100/3 = 200-100=100

H(100/3 / 100 )

100/3 = Absatz ?

100= Preis ?

Das wäre mein Ansatz zur Aufgabe.

Answer 1

Hallo Saskia,

alles richtig bis auf  H(100/3 / 100 ), denn der Hochpunkt bezieht sich auf die Umsatzfunktion.

               [ 100 [GE]   für den maximalen Preis ist richtig. ] 

Für den maximalen Umsatz musst du  x = 100/3  in  U(x) = 200x - 3x² einsetzen:

U(100/3)  =  10000/3  ≈ 3333,33  [GE]

Gruß Wolfgang